尼科尔森03 偏好和效用 ## Problem 1 无差异曲线： a. 有时可能会相交。 b. 仅当效用函数是线性时，才是效用函数的等高线。 c. 是凸的，如果效用函数是拟凹的。 d. 如果价格发生变动，无差异曲线也会改变。 ## Explanation c 无差异曲线表示消费者偏好的等效用水平的商品组合，在同一条无差异曲线上，效用水平相同。 逐一分析选项： - a. 有时可能会相交。 不正确。根据偏好的传递性和单调性，无差异曲线不可能相交；如果相交，就会出现矛盾。 - b. 仅当效用函数是线性时，才是效用函数的等高线。 不正确。效用函数的等高线就是无差异曲线，这与效用函数的具体形式无关。 - c. 是凸的，如果效用函数是拟凹的。 正确。拟凹的效用函数意味着偏好是凸的，因此无差异曲线是凸向原点的。 - d. 如果价格发生变动，无差异曲线也会改变。 不正确。无差异曲线由偏好决定，与价格无关。价格变化影响预算线和最优选择，但不影响无差异曲线的形状和位置。 因此，选项 c 正确。 ## Problem 2 对于只消费两种商品$x$和$y$的消费者，以多消费一单位$x$而放弃多少$y$的机会成本是： a. 消费者的边际替代率。 b. 商品$x$和$y$的市场价格之比。 c. 无差异曲线的斜率。 d. 以上都不是。 ## Explanation b 机会成本是指为了获得一项资源所必须放弃的其他资源的价值。在市场中，多消费一单位$x$所需放弃的$y$的数量，由市场价格决定，即$\frac{P_x}{P_y}$，其中$P_x$和$P_y$分别为商品$x$和$y$的价格。因此，机会成本是商品$x$和$y$的市场价格之比，故选项b是正确的。 选项a，边际替代率（MRS）反映了消费者在维持效用不变的情况下愿意用多少$y$来替代一单位$x$，是偏好关系的体现，不一定等于市场的机会成本。选项c，无差异曲线的斜率等于边际替代率，同样反映的是消费者的偏好，而非由市场价格决定的机会成本。故选项b正确。 ## Problem 3 如果消费束 $A$ 和 $B$ 位于同一无差异曲线上，则可以假设消费者的效用： a. $A$严格偏好于$B$。 b. $B$严格偏好于$A$。 c. 对消费束$A$和$B$的偏好程度是相同的。 d. $A$包含的商品数量与$B$相同。 ## Explanation c 如果两个消费束位于同一无差异曲线上，意味着消费者对这两个消费束的偏好程度相同，即在这两个消费束之间无差异。因此，选项c正确。选项a和b错误，因为它们分别表示消费者严格偏好$A$或$B$，这与两者位于同一无差异曲线的条件矛盾。选项d错误，因为位于同一无差异曲线的消费束不一定包含相同数量的商品，只需使消费者达到相同的效用水平即可。 ## Problem 4 使用效用函数$U(x,y)=4x+2y$时，商品组合$(3,2)$和以下哪个消费束提供相同的效用： a. $(2,3)$。 b. $(2,4)$。 c. $(2,5)$。 d. $(3,3)$。 ## Explanation b 首先，计算组合$(3,2)$的效用：

\[ U(3,2) = 4 \times 3 + 2 \times 2 = 12 + 4 = 16. \]

然后，计算各选项的效用： - 对于(a) $(2,3)$：

\[ U(2,3) = 4 \times 2 + 2 \times 3 = 8 + 6 = 14. \]

- 对于(b) $(2,4)$：

\[ U(2,4) = 4 \times 2 + 2 \times 4 = 8 + 8 = 16. \]

- 对于(c) $(2,5)$：

\[ U(2,5) = 4 \times 2 + 2 \times 5 = 8 + 10 = 18. \]

- 对于(d) $(3,3)$：

\[ U(3,3) = 4 \times 3 + 2 \times 3 = 12 + 6 = 18. \]

因此，只有选项b的效用与$(3,2)$相同，都是16。 ## Problem 5 对于效用函数$U(x,y)=4x+2y$，边际替代率（$MRS$）： a. 取决于$x$和$y$的值。 b. 总是0。 c. 总是2。 d. 总是4。 ## Explanation c 边际替代率（$MRS$）定义为$MRS = -\dfrac{MU_x}{MU_y}$，其中$MU_x$和$MU_y$分别是商品$x$和$y$的边际效用。对于效用函数$U(x, y) = 4x + 2y$： - 计算边际效用： [ MU_x = \dfrac{\partial U}{\partial x} = 4,\quad \ MU_y = \dfrac{\partial U}{\partial y} =

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