金融市场和预期 ### 预期贴现值 预期贴现值 (expected present discounted value) 一系列未来收益在今天的期望值。 Remark 预期贴现值可用于投资决策： - 如果预期贴现值 > 初始成本，应该投资 - 如果预期贴现值 < 初始成本，不应投资 ### 计算预期贴现值 设一年期名义利率为$i_t$，则： - 今年1美元 = 明年$(1+i_t)$美元 - 明年1美元 = 今年$\frac{1}{1+i_t}$美元 折现因子 (discount factor) $\frac{1}{1+i_t}$是明年1美元的折现因子。 Remark 名义利率$i_t$越高，明年1美元在今天的价值越低。 对于两年后的1美元： - 今年1美元 = 两年后$(1+i_t)(1+i_{t+1})$美元 - 两年后1美元 = 今年$\frac{1}{(1+i_t)(1+i_{t+1})}$美元 其中$i_t$和$i_{t+1}$分别是今年和明年的一年期名义利率。例如：若$i_t = i_{t+1} = 5\%$，则两年后的1美元在今天价值约91美分。 ### 通用公式 对于随时间变化的支付额和利率，一般情况下的贴现值公式为：

$$ \$V_t = \$z_t + \frac{1}{(1+i_t)}\$z_{t+1} + \frac{1}{(1+i_t)(1+i_{t+1})}\$z_{t+2} + \cdots $$

其中： - $\$V_t$：收益序列在今年的贴现值 - $\$z_t, \$z_{t+1}, \$z_{t+2}, \cdots$：当前和未来各期的收益 - $i_t, i_{t+1}, \cdots$：当前和未来各期的一年期名义利率 Remark 收益离现在越远，折现因子越小，其贴现值就越小。 当未来收益和利率不确定时，使用预期值：

$$ \$V_t = \$z_t + \frac{1}{(1+i_t)}\$z_{t+1}^e + \frac{1}{(1+i_t)(1+i_{t+1}^e)}\$z_{t+2}^e + \cdots $$

其中上标$e$表示预期值。 Remark - 现值与当前实际收益和未来预期收益正相关 - 现值与当期和预期未来利率负相关 ### 一些情况 #### 固定利率 假设利率不变，即$i_t = i_{t+1}^e = \cdots = i$，则：

$$ \$V_t = \$z_t + \frac{1}{(1+i)}\$z_{t+1}^e + \frac{1}{(1+i)^2}\$z_{t+2}^e + \cdots $$

#### 固定利率和收益 对于持续$n$年的等收益序列$\$z$：

$$ \$V_t = \$z \frac{1-[1/(1+i)^n]}{1-[1/(1+i)]} $$

#### 固定利率和收益，无限期支付 对于无限期等额收益$\$z$（从明年开始）：

$$ \$V_t = \frac{\$z}{i} $$

#### 零利率 当$i=0$时，现值等于所有收益的简单总和。 ### 名义利率、实际利率和现值 使用名义利率计算美元收益序列的现值：

$$ \$V_t = \$z_t + \frac{1}{(1+i_t)}\$z_{t+1}^e + \frac{1}{(1+i_t)(1+i_{t+1}^e)}\$z_{t+2}^e + \cdots $$

使用实际利率计算实际收益序列的现值：

$$ V_t = z_t + \frac{1}{(1+r_t)}z_{t+1}^e + \frac{1}{(1+r_t)(1+r_{t+1}^e)}z_{t+2}^e + \cdots $$

这两种表达方式等价：$\$V_t / P_t = V_t$ Remark 选择使用哪种方式取决于具体情况： - 对于固定名义收益（如债券），使用名义利率和美元收益 - 对于关注实际价值的情况，使用实际利率和实际收益 ### 债券价格和收益率曲线 债券主要有两个特征： - 期限 (maturity)：承诺向债券持有者提供收益的时间长度 - 风险：包括违约风险和价格风险 定义：到期收益率 (yield to maturity) 不同期限债券的利率，简称为收益率。 - 短期利率：期限为一年或更短的债券收益率 - 长期利率：更长期限债券的收益率 定义：收益率曲线 (yield curve) 收益率和期限之间的关系，也称为利率期限结构 (term structure of interest rate)。图14.2展示了2000年11月1日和2001年6月1日的美国政府债券利率期限结构： - 2000年11月1日：收益率曲线轻微向下倾斜 - 2001年6月1日：收益率曲线剧烈上升 图略。 为了理解收益率曲线的决定因素以及短期利率和长期利率之间的关系，我们将： 1. 推导不同期限债券的价格 2.

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