十一、广延型博弈与反向归纳策略 #### 广延型博弈的定义 广延型博弈是对游戏者决策问题序列结构的详细描述。本节仅分析信息完美的广延型博弈。 信息完美(perfect information):每个游戏者在作决策时,对以前所发生的事件具有完全信息。 广延型博弈由以下要素构成: 1. 决策点与分枝的结构,在初始与终点间不存在闭环; 2. 清楚指明每个决策点属于哪个游戏者; 3. 在”自然”决策点上选择的概率; 4. 游戏者作决策所依据的信息集,将决策点分成若干类; 5. 在终点上每个游戏者的收益(payoffs)。 #### 广延型博弈的表示:博弈树 广延型博弈通常以”决策树”或”博弈树”的形式表达。 例1:信息完美的动态博弈 [图略] - 时间1:游戏者1决策,选择左(L)或右(R); - 时间2:游戏者2决策,选择左(l)或右(r),他知道1的决策; - 收益由终点决定,上数字为1的收益,下数字为2的收益。 #### 博弈树和信息集 例2:信息不完美的静态博弈。与例1的区别:游戏者2的信息集 - 椭圆表示2不确定1选了L还是R,对两种可能有相同信息; - 该两点集合称为2的信息集,是其决策依据; - 2的l和r选择同样可能,博弈有静态性质。 信息集对博弈至关重要: - 包含多个决策点⇒信息不完美; - 每个信息集只含一个决策点⇒信息完美。 [图略] #### 三人蜈蚣博弈 例3:三人博弈 [图略] - 初始空心点:A作决策,三个选择x,y,z; - 箭头:A的每个可能决策结果; - y之后B决策,选X或Y;x或z之后博弈结束; - 向量:三个数字表示A,B,C的收益; - 路径如A选y,B选X,则收益为(4,2,4)。 #### 广延型博弈的规则 描述广延型博弈的图形需遵循两个规则: 规则一: - 每个决策点至少有一个箭头指向它(至少一个行动导致该结果); - 每个决策点至多有一个箭头指向它(初始点除外)。 - 确保从任一非初始点出发,有唯一路径返回初始点(“反向归纳”顺利进行)。 规则二: - 从某点向初始点返回,不可能再迂回地回到该点; - 只能按反向逐次返回原点。 这两条规则保证了: - 博弈结构如决策树,树枝可从某点生出; - 但不会有两树枝交于一决策点; - 也不会有树枝重新长回其本身。 从数学上说,广延型博弈的结果结构像树状(arborescence)。 跳过11.2.1节 从扩展形式到一般形式的转化 跳过本书11.2.1节，写得太差了。从扩展形式到一般形式的转化可以参考第十二讲开始时讲的内容，或参考我们对尼科尔森的讲解。在此，这一部分不重要。

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