十二、子博弈与完美性 #### 一个合作博弈的例子 例1:两企业$A$与$B$生产不同部件,型号有大小之分,需匹配才有收益。 [图略] 如果$A$先走,而$B$有四种可能的策略组合: - (大,大):如果$A$选大,B选大;如果$A$选小,B也选大 - (大,小):如果$A$选大,B选大;如果$A$选小,B选小 - (小,大):如果$A$选大,B选小;如果$A$选小,B选大 - (小,小):如果$A$选大,B选小;如果$A$选小,B选小 这样就得到一个2×4的博弈,如表12.2: [图略] 表12.2中有三个纳什均衡: - $X$={大,(大,大)}:$A$选大,$B$无论$A$如何选都选大,结果两者都选大 - $Z$={小,(小,小)}:$A$选小,$B$无论$A$如何选都选小,结果两者都选小 - $Y$={大,(大,小)}:$A$选大时$B$选大,$A$选小时$B$选小,结果两者选大 为何它们都是纳什均衡? - $X$:$A$选大是其最优反应,$B$选大也是其最优反应 - $Z$:$A$选小是其最优反应,$B$选小也是其最优反应 - 第二行第二列不是纳什均衡,因为给定$B$的策略,$A$选小不是最优的 将上述博弈改写为广延型博弈,如图12.1。尽管有三个纳什均衡$X,Y,Z$,但进一步讨论可发现: - $X$={大,(大,大)}中,$B$的策略在$A$选小时会导致(-1,-1)的劣势结果 - $Z$={小,(小,小)}中,$B$的策略在$A$选大时会导致(-1,-1)的劣势结果 - 只有$Y$={大,(大,小)}是合理均衡:$B$的策略总是与$A$相匹配,结果最优。这一分析过程需引入”子博弈”与”完美性”的概念。 [图略] #### 子博弈的定义 定义[子博弈]: 一个子博弈由三个要素构成: 1. 一个决策节,代表某游戏者的某个信息集; 2. 该节之后的所有决策节; 3. 在终点上的收益(payoffs)。 图12.1中: - 整个博弈是一个子博弈 - 以$B_1$为始节的部分是一个子博弈 - 以$B_2$为始节的部分是一个子博弈 [图略] #### 子博弈的判定规则 在判断一个节点$x$是否定义了子博弈时,注意: - 若$y$是$x$之后的决策节,且$z$与$y$属于同一信息集, - 则$z$必须也是$x$的后继节点,否则$x$不构成子博弈。 如图12.2所示: - (a)中节点$x$定义了一个子博弈 - (b)中节点$x$没有定义子博弈,因为$z$与$y$同属一个信息集,但$z$不是$x$的后继节点 [图略] #### 子博弈完美纳什均衡 定义[子博弈完美纳什均衡]: 一个策略组合是子博弈完美纳什均衡,当且仅当: 1. 对整个博弈而言,它是一个纳什均衡; 2. 对其中任何一个子博弈而言,它都是一个纳什均衡。 子博弈完美纳什均衡的要求比纳什均衡更严格: - 要求在每个单点信息集上的策略都是最优的 #### 合作博弈的子博弈完美性分析 在图12.1所示的合作博弈中: - $X$={大,(大,大)}不是子博弈完美均衡,因为它不是以$B_2$为始点的子博弈的均衡 - $Z$={小,(小,小)}不是子博弈完美均衡,因为它不是以$B_1$为始点的子博弈的均衡 - 只有$Y$={大,(大,小)}是子博弈完美均衡,因为它在所有子博弈中都是纳什均衡 [图略] #### 子博弈完美性的意义 引入子博弈完美性概念的意义在于: 1. 帮助识别某些纳什均衡中可能存在偏离均衡的不合理行为 - 如$B$选”不管$A$如何选,都选大”,包含了$A$偏离大时$B$仍选大的不合理性 2. 帮助从若干纳什均衡中精选出更合理的均衡 - 即使$A$选小,$B$也应该选择”如果$A$选大,我选小”的策略,以避免$A$意外选大时的损失 - Selten称这种意外为”颤抖的手”(trembling hand) 因此,子博弈完美性可以提炼出更合理、更稳健的纳什均衡。 这里Selten其实提出的是颤抖手均衡(Trembling hand perfect equilibrium)的概念。作者把这个概念放在这里的意义是不明确的：） #### 无穷次重复博弈中的”囚徒困境” 例2:考虑一个”价格战或价格串通卡特尔”的博弈: [图略] 如果博弈只进行一次,惟一纳什均衡是(低价,低价)。但如果双方都选择”高价”,结果会更好。 讨论重复博弈的原因:如果博弈双方意识到一时的背叛收益小于长期合作收益,则会选择合作。

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