十三、委托-代理理论初步 #### 生产技术与代理人贡献 在委托-代理模型中,生产过程被抽象为三个变量的关系: 1. 代理人(管理人员)对企业价值的贡献$y$,可用企业股价、产量、利润等衡量; 2. 代理人在生产中的行动$a$,通常指努力程度或对所有者利益的关注程度; 3. 代理人无法控制的外界事件$\varepsilon$,称为”噪音”(noise)。 我们做出如下假设: 假设 1 生产函数为

$$y=a+\varepsilon$$

假设 2 噪音$\varepsilon$服从正态分布,且

$$E(\varepsilon)=0,\quad V(\varepsilon)=\sigma^2$$

#### 委托-代理契约 我们重点分析线性契约,代理人报酬是产出的线性函数:

$$w(y)=s+by$$

其中$s$为固定工资,$b$为奖金率或利润留成比率。 线性契约提供了一种统一的激励(uniform incentive),即激励强度处处相等。 非线性契约未必提供更强激励,例如: - 利润承包制中,达到目标利润有较高留成,否则留成较低甚至为零; - 如果年底利润远低于目标,无论如何努力都无法达标,管理人员可能放弃努力。 #### 委托人与代理人的得益 委托人的得益为产出与支付报酬之差: $\pi=y-w$ 假设委托人为风险中立(risk neutral),其目标是最大化预期得益: $E(y-w)=E(y)-E(w)$ 代理人的得益为报酬减去努力成本: $w-C(a)$， 其中$C(a)$为努力的成本函数,满足: - $C'(a)>0$:努力越多,成本越高; - $C''(a)>0$:成本递增。 假设代理人也为风险中立,其目标是最大化预期得益:

$$E(w)-C(a)$$

[图略] #### 代理人的最优行动 代理人行动$a$的”最优”有三种标准: 1. 在满足代理人最低报酬的前提下,最大化委托人得益; 2. 在满足委托人最低得益的前提下,最大化代理人得益; 3. 最大化委托人与代理人得益之和。 在委托人和代理人都风险中立时,这三个标准实际上等价,要求代理人采取相同的最优行动$a^*$。 #### 最适行动的求解 按第三个标准,最优行动$a^*$应最大化委托人与代理人得益之和的期望:

$$\max_a E(y-C(a))=\max_a (a-C(a))$$

一阶条件给出:

$$C'(a^*)=1$$

定义最优行动$a_{FB}$为使$E(y)$与$C(a)$之差最大的行动,即满足:

$$C'(a_{FB})=1$$

这表明代理人行动的边际成本等于边际产出时,总剩余最大化。可以证明,在代理人效用满足参与约束、委托人得益满足最低要求时,最大化双方得益的$a^*$也满足$C'(a^*)=1$,与$a_{FB}$一致。 [图略] #### 委托-代理理论中的最优行动定理 由此得到委托-代理模型中关于最优行动的一个基本定理: 定理:代理人最优行动定理 若委托人与代理人都风险中立,噪音$\varepsilon\sim N(0,\sigma^2)$,则存在代理人的最优行动$a_{FB}$的必要条件为:

$$C'(a_{FB})=1$$

且该条件在三个目标:有约束的委托人得益最大、有约束的代理人得益最大、双方得益之和最大下是等价的。 这个定理意味着,在风险中立假设下,最优行动与双方如何分配surplus无关,这解释了为什么”交足国家的,剩下都是自己的”的政策在一定条件下是最优的。 #### 风险中立假设的重要性 然而,在现实中,代理人与委托人之间的收益分配往往会影响最优行动的存在性和取值。这是由于代理人实际上并非风险中立。 风险厌恶(risk aversion)会导致最优行动$a_{FB}$不复存在,或者使$a^*$偏离$a_{FB}$。 因此,风险中立假设在委托-代理理论中至关重要,它使得最优行动的存在性和一致性得以保证。 接下来,我们将进一步讨论风险中立假设的放松对委托-代理模型结论的影响。 #### 风险中立代理人对线性契约的反应 代理人最优行动定理在线性契约条件下仍基本成立,只需稍加修改。 考虑线性契约$w=s+by$,其中$y=a+\varepsilon$。风险中立的代理人会最大化其预期得益:

$$\max_a E[w-C(a)]=\max_a [s+ba-C(a)]$$

最优行动$a^*$满足一阶条件: \begin{equation}\label{eq:FOC} C’(a^*(b))=b \end{equation} 这表明,在激励强度为$b$的线性契约下,存在最优行动$a^*$,且其处努力的边际成本等于边际收益$b$。 [图略] #### 线性契约下最优行动的特点 由式(\ref{eq:FOC})可知: - 固定工资$s$不影响最优行动,因为它只是一次性财富转移,不影响激励; - 奖金率$b$代表激励强度,$b$越高,期望报酬线越陡峭,对$a$的激励越强; - 随着$a$的增加,$C'(a)$上升,因此$b$的提高会引致$a^*$的增加。 直观理解:实行利润承包制时,留成50%的企业比留成5%的企业有更大积极性。 #### 线性契约能否达到first-best? 令$b=1$意味着代理人是百分之百为自己努力,此时$C'(a^*)=1$,达到上一节的first-best解。 这表明代理人为自己努力完全等价于为委托人努力,两者毫无冲突。 但如果$b<1$,委托人从代理人的努力成果中扣除一部分,会影响$a^*$的取值,使其达不到first-best水平。 #### 如何在线性契约下实现first-best? 要在线性契约下实现$b=1$,需要$s<0$,即代理人为承包企业付费。这在实际中常见: - 利润全额包干($b=1$)与固定上缴费($s<0$)相结合; - 这种制度下,激励强度最大,但代理人承担的风险也最大。 如果代理人是风险中立者,百分之百承担风险不影响其最优行动选择。 但如果代理人是风险规避者,则完全承担风险必定会影响$a^*$的取值。 下一节将分析风险态度对代理人行动的影响。 #### 正态分布风险的确定性等值问题 - 效用函数$u(x)=-e^{-rx}$，$r$衡量当事人对风险的规避程度 - $r=0$：风险中立 - $r>0$：规避风险 - $r<0$：喜欢冒险 - 如果$x$服从正态分布，均值为$m$，方差为$v$，则

$$ \mathrm{EU} = \int_{-\infty}^{\infty}-e^{-rx} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi v}} \cdot e^{-\frac{(x-m)^2}{2v}} \cdot dx = -e^{-r\left[m-\frac{rv}{2}\right]} $$

- 应用”$\mathrm{CE}$”的定义$\mathrm{EU}=u(\mathrm{CE})$，得到 $$

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