一、偏好、效用和消费者的基本问题 ### 基本概念 - 消费束：消费者可供选择的某个商品组合。 - 消费集：消费者可供选择的所有商品组合的集合。 - 偏好：消费者对不同商品组合的喜好程度。 - 价格：商品的价格。 - 收入：可支配的资源。 - 预算集：消费者买得起的所有可供选择的商品组合的集合。

$$ \mathcal{B} = \{x \in \mathbb{R}^L_+ | p \cdot x \leq I\} $$

- 预算线：预算集的边界。 ### 消费集的性质（理解即可。） 消费集至少满足以下性质: 1. $\phi \neq X \subseteq \boldsymbol{R}_{+}^n$。 2. $X$ 为闭。即消费集中所有的极限点都包含在该集之内，因此，$X$ 是连续的。 3. $X$ 为凸。凸的含义为: 如 $x^1=\left(x_1^1, x_2^1, \cdots, x_n^1\right) \in X, x^2=\left(x_1^2, x_2^2, \left.x_3^2, \cdots, x_n^2\right) \in X$, 则对 $\forall 0 \leqslant \lambda \leqslant 1, \lambda x^1+(1-\lambda) x^2 \in X$。即一个消费集中的任两个消费计划的任意的线性组合仍包含在该消费集内。 4. $0 \in X$。可以选择不消费。 ### 偏好关系 偏好关系是指一种定义于消费集 $X$ 中的二项关系 (binary relation), 记为 $\succsim$。如果 $x^1 \succsim x^2$, 我们说 “$x^1$ 至少与 $x^2$ 一样好”。 作为自然延伸，我们可以进一步定义两类二元关系，即严格偏好关系 $\succ$ 和 无差异关系 $\sim$，用以描述消费组合间的关联。若两个消费组合 $x,y\in X$ 满足 $x\succsim y$ 且 $y\succsim x$, 则视这两个消费组合无差异, 记作 $x\sim y$。若满足 $x\succsim y$ 但 $y\not \succsim x$, 则称 $x$ 严格偏好于 $y$, 记作 $x\succ y$。这两类关系都是 $\succsim$ 的子集，因为无论是 $x\succ y$ 还是 $x\sim y$, 都有 $x\succsim y$ 的成立。 ### 理性偏好公理 偏好的完备性 对于任何在 $X$ 中的 $x^1 \neq x^2$, 或者 $x^1 \succsim x^2$, 或者 $x^2 \succsim x^1$。 偏好的反身性 对所有的 $x \in X, x \succsim x$。即一个消费计划至少与它本身一样好。偏好的反身性意味着偏好关系可以描述同一个消费选择及其自身间的关系。 偏好的传递性 对于所有的 $x^1, x^2, x^3 \in X$, 如果 $x^1 \succsim x^2$ 且 $x^2 \succsim x^3$, 则 $x^1 \succsim x^3$。即如果一个消费计划至少与另一个消费计划一样好, 而后者又至少与第三个消费计划一样好, 那么前者至少与第三个消费计划一样好。 满足完备性、反省性以及传递性的偏好关系 $\succsim$ 称为理性偏好。 ### 偏好的连续性 一些教材中也把连续性加入理性要求： 偏好的连续性 偏好关系在极限情况下保持不变，即对于任意序列 $\left\{\left(x^n, y^n\right)\right\}_{n=1}^{\infty}$，如果 $x^n \succsim y^n$ 对于所有 $n$ 成立，且 $x=\lim _{n \rightarrow \infty} x^n$, $y=\lim _{n \rightarrow \infty} y^n$, 则 $x \succsim y$。把连续性理解为偏好不会突变即可。 偏好的反身性意味着偏好关系可以描述同一个消费选择及其自身间的关系；而偏好的连续性则要求消费者的偏好在极限情况下保持一致：具体来说，这表示若在消费组合 $x$ 的去心邻域内的任何消费组合 $x'$ 相对于 $y$ 都至少同样好，那么 $x$ 也应当至少与 $y$ 同样好。 ### 序数效用论 我们能否找到一个方法来评估每个消费组合的消费体验以方便偏好排序呢？这种想法来源于基数效用论(cardinal utility)，但因为找不到且也不可能找到能有效衡量消费体验的方法或工具，这种观念已经过时。况且，我们不必为每个消费组合提供一个绝对的数值来度量其消费体验水平，也可以完成偏好排序。实现排序的方法称为序数效用论(ordinal utility)，它是整个消费行为理论的基础。 ### 效用函数 为商品建立了偏好排序后，我们可以为这些排序过的消费组合分配一个表示偏好程度的量值，称为效用。对于更高偏好的消费组合，我们赋予它们更大的效用值；而对于无差异的消费组合，我们分配相同的效用值。这样，我们就能通过消费组合的效用值来明确地描述偏好关系。这种赋值其实是在构建一种从消费集合$X$到实数集的映射，也就是一种函数关系。我们将这种函数称为效用函数, 其定义如下： 效用函数 函数$U : X \rightarrow \mathbb{R}$ 被称为效用函数，当且仅当对于任意的 $x, y \in X$, 满足以下条件：

$$ U(x) \geq U(y) \text{，当且仅当} x \succsim y $$

### 偏好的单调性 偏好的局部非餍足 偏好关系具有局部非餍足特性，若对于任意的$x \in X$和$\varepsilon>0$, 都存在一个$y \in X$, 满足$\|y-x\| \leq \varepsilon$且$y \succ x$。这一定义又被称为局部非饱和。 偏好的单调性 偏好关系具有单调(增)特性，若对于任意两个消费组合 $x, y \in X$, $x \geq y$时可得$x \succsim y$, 且$x \gg y$ 时可得 $x \succ y$。这里，$x \geq y$ 表明 $x$ 中的每种商品数量均不少于 $y$ 中的商品数量，而 $x \gg y$ 表明 $x$ 中的每种商品数量均大于 $y$

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