二、间接效用函数和支出函数 #### 间接效用函数 间接效用函数 $v(p,y)$ 是消费者效用最大化问题的 值函数（value function）。 1. 求出马歇尔需求函数 $x(p, y)$ 2. 代入效用函数 $u(x)$ 3. 得到间接效用函数 $v(p, y) = u(x(p, y))$ 值函数 是最优化问题的 参数 的函数。 #### 间接效用函数的性质 如果直接效用函数 $u(x)$ 在 $\boldsymbol{R}_{+}^n$ 上是连续且严格递增的, 那么间接效用函数

$$ \begin{aligned} & v(p, y)=\max _{{x} \in \mathbf{R}_{+}^n} u(x) \\ & \text { s.t. } p \cdot x \leqslant y \end{aligned} $$

1. 在 $\boldsymbol{R}_{++}^n \times \boldsymbol{R}_{+}$ 上是连续的;（无需证明） 2. 关于 $(p, y)$ 是零次齐次的; 3. 对于 $y$ 严格递增; 4. 对于 $p$ 严格递减; 5. 满足罗尔恒等式(Roy’s identity) (证明需要用到包络定理，可参考经济数学基础专题。): 即, 如 $v(p, y)$ 在点 $\left(p^0, y^0\right)$ 是可导且 $\frac{\partial v}{\partial y}\left(p^0, y^0\right) \neq 0$, 则有

$$ x_i\left(p^0, y^0\right)=-\frac{\frac{\partial v\left(p^0, y^0\right)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v\left(p^0, y^0\right)}{\partial y^0}} \quad(i=1,2, \cdots, n) $$

#### 证明：罗尔恒等式 证明：如 $v(p, y)$ 在点 $\left(p^0, y^0\right)$ 是可导且 $\frac{\partial v}{\partial y}\left(p^0, y^0\right) \neq 0$, 则有罗尔恒等式：

$$ x_i\left(p^0, y^0\right)=-\frac{\frac{\partial v\left(p^0, y^0\right)}{\partial p_i}}{\frac{\partial v\left(p^0, y^0\right)}{\partial y^0}} \quad(i=1,2, \cdots, n) $$

#### 例题2.1 从直接效用函数 $u\left(x_1, x_2\right)=\left(x_1^\rho+x_2^\rho\right)^{1 / \rho}, 0 \neq \rho<1$

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