三、价格变化对消费者的配置效应与福利效应 价格提供曲线和收入提供曲线 价格提供曲线是$x_1$和$x_2$平面上价格变化带来的需求变化的轨迹。 收入提供曲线是$x_1$和$x_2$平面上收入变化带来的需求变化的轨迹。 [图略] 图解替代效应和收入效应 斯拉茨基分解和希克斯分解都固定购买力不变以分离出替代效应和收入效应。 - 斯拉茨基分解 购买力不变的定义为：在价格变化后，消费者仍然正好买得起原来的最优消费组合。 - 斯拉茨基补偿 $\Delta m = \Delta p x^0$，即消费者的收入补偿量等于价格变化量乘以原来的最优消费组合。 - 希克斯分解 购买力不变的定义为：在收入变化后，消费者仍然正好可以实现原来的最优效用。 - 希克斯补偿 $\Delta m = \Delta e(p, u^0)$，即消费者的收入补偿量等于让消费者正好能够实现原来的最优效用的支出的变化量。 [图略] 斯拉茨基方程 斯拉茨基方程：

$$ \frac{\partial x_i(p, y)}{\underbrace{\partial p_j}_{\mathrm{TE}}}=\underbrace{\frac{\partial x_i^h\left(p, u^*\right)}{\partial p_j}}_{\mathrm{SE}} \underbrace{-x_j(p, y) \frac{\partial x_i(p, y)}{\partial y}}_{\mathrm{IE}} $$

相关的三个引理： 1. $e\left(p, u^*\right)=e(p, v(p, y))=y$ 2. $x_i(p, y)=x_i^h(p, v(p, y))$ 3. $x_i^h(p, u)=x_i(p, e(p, u))$ 最简单的方法证明斯拉茨基方程 证明：斯拉茨基方程：

$$\frac{\partial x_i}{\partial p_j}=\frac{\partial h_i}{\partial p_j}-x_j \frac{\partial x_i}{\partial y}$$

证明：有禀赋的斯拉茨基方程

$$\frac{\partial x_i}{\partial p_j}=\frac{\partial h_i}{\partial p_j}+\left(\omega_j-x_j\right) \frac{\partial x_i}{\partial y}$$

例题3.1 斯拉茨基补偿和希克斯补偿 例 1 : 如效用函数为 $u\left(x_1, x_2\right)=\sqrt{x_1 x_2}$, 如 $p_2$ 不变 $\left(p_2=1\right)$, 收入 $y=$ $2, p_1$ 由 0.25 上升到 1 , 求希克斯补偿, 并与斯拉茨基补偿额相比较。 证明：替代效应非正 **证明：**无论无差异曲线是否凸向原点（偏好是否凸，效用函数是否拟凹），替代效应都是非正的。也就是说，替代效应非正：

$$ \frac{\partial x_i^h(p, u)}{\partial p_i} \leqslant 0 \quad(i=1,2, \cdots, n) $$

证明方法： 1. 假设凸偏好时证明； 2. 不假设凸偏好，用显示偏好原理证明； 3. 用支出函数的凹性证明。 证明：$e(p, u)$ 为凹函数 正常商品、劣等商品、一般商品、吉芬商品 - 正常商品 收入上升，需求上升。 - 劣等商品 收入上升，需求下降。 - 一般商品 价格上升，需求下降。（需求法则） - 吉芬商品 价格上升，需求上升。（非常劣等的劣等商品） 证明：净交叉替代效应具有对称性 从谢泼特引理出发

$$ \begin{aligned} \frac{\partial\left(x_i^h(p, u)\right)}{\partial p_j} & =\frac{\partial}{\partial p_i}\left[\frac{\partial e(p, u)}{\partial p_j}\right] \\ & =\frac{\partial x_j^h(p, u)}{\partial p_i} \end{aligned} $$

由于公式右端第一项是撇开收入效应的净替代关系, 所以, 这种净交叉替代总是互替的, 而且是对称的。 两种商品的总替代关系和总互补关系 总替代与总互补: 两种商品 $X_i$ 与 $X_j$ 如果

$$ \frac{\partial x_i}{\partial p_j}>0 $$

则它们是存在总替代关系的; 如果

$$ \frac{\partial x_i}{\partial p_j}<0 $$

则它们是具有总互补关系的。要注意的是, 总替代关系与总互补关系并不像希克斯需求关系中那样具有对称性。 例题3.2 总替代和总互补关系 例 2: 如 $u\left(x_1, x_2\right)=\ln x_1+x_2$, 讨论 $x_1$ 与 $x_2$ 之间的总替代或总互补关系。 弹性 如果记 $x_i(p, y)$ 为关于产品 $i$ 的马歇尔需求函数, 则令 $$ \begin{aligned} \eta_i & \equiv \frac{\partial x_i(p, y)}{\partial y} \frac{y}{x_i(p, y)} \ \varepsilon_{i j} & \equiv \frac{\partial x_i(p, y)}{\partial p_j} \cdot \frac{p_j}{x_i(p, y)}, \varepsilon_{i i} \equiv \frac{\partial x_i(p, y)}{\partial p_i} \cdot \frac{p_i}{x_i(p, y)} \ S_i & \equiv \frac{p_i x_i(p, y)}{y} \quad(i,

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