四、VNM（冯·诺伊曼-摩根斯坦）效用函数与风险升水 #### 赌局 - 单赌 某个赌局，有独立的概率对应独立的结果，结果对应收益 - 复赌 某个赌局，有独立的概率对应独立的结果，结果对应收益或另外的赌局 #### 不确定条件下的选择公理（了解即可） - 次序完全公理 对任意不同结果 \(A, B\), 存在 \(A \gtrsim B\), \(B \gtrsim A\), 或 \(A \sim B\)。若 \(A \gtrsim B\) 且 \(B \gtrsim C\), 则 \(A \gtrsim C\)。 - 连续性公理 若 \(A \gtrsim B\) 且 \(B \gtrsim C\), 则存在 \(0 < P < 1\) 使 \(P A + (1-P) C \sim B\)。 - 独立公理 若 \(A \sim B\)，则对任意 \(C\), 有 \(P A + (1-P) C \sim P B + (1-P) C\)。若 \(A \gtrsim B\)，则 \(P A + (1-P) C \gtrsim P B + (1-P) C\)。 - 不相等公理 若 \(A > B\)，则对 \(L_1 = P A + (1-P) B\) 和 \(L_2 = P_2 A + (1-P_2) B\)，若 \(P_2 > P_1\)，则 \(L_2 \succ L_1\)。 - 复赌公理 对 \(L_1 = P_1 A + (1-P_1) B\) 和 \(L_2 = P_2 L_3 + (1-P_2) L_4\)，若 \(P_1 = P_2 P_3 + (1-P_2) P_4\)，则 \(L_2 \sim L_1\)，其中 \(L_3 = P_3 A + (1-P_3) B\) 和 \(L_4 = P_4 A + (1-P_4) B\)。 #### 冯·诺伊曼-摩根斯坦期望效用函数定理 假设消费者 $i$ 的消费面临风险，偏好满足以上公理假设，则存在效用函数 1. 表示这个消费者的偏好。 2. 具有期望效用的特征：

$$u_i(L)=p_X u_i(X)+p_Y u_i(Y)+\cdots+p_Z u_i(Z)$$

#### 用方差度量风险 方差 $=\sum_{i=1}^n p_i\left[x_i-E\left(x_i\right)\right]^2$ #### 风险态度 - 风险规避者 效用函数为凹函数，$u(E(g))>u(g)$ -

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