五、风险规避、风险投资与跨期决策 保险金与风险规避程度的关系 保险金 $R$ 与规避风险程度 $R_a(w)$ 之间是成正比例的。假定一个人有初始财产 $w_0$, 但这笔财产会有不确定性, 即该消费者面临一个赌局, 赌局的奖金 (或损失) 为 $h$ 。若 $h>0, h$ 为奖金; 若 $h<0$, 就是赌局带来的损失。因此,该消费者的期望效用函数可以写成 $E\left[u\left(w_0+h\right)\right](h$ 可以是小于零), 假定其中的 $E(h)=0$ 。 如果这位消费者为了免灾, 宁肯支付一个确定的 $R$ 给保险公司。那么, 他就完全退出赌局, 而得到一个确定的效用水平 $u\left(w_0-R\right)$ 。确定性等值这个定义告诉我们

$$ E\left[u\left(w_0+h\right)\right]=u\left(w_0-R\right) $$

我们用泰勒级数把上式左右两边都展开。先看右边

$$ u\left(w_0-R\right)=u\left(w_0\right)-R u^{\prime}\left(w_0\right)+\text { 高阶项 } $$

再看左端, 同样可以用泰勒级数展开

$$ \begin{aligned} & E\left(u\left(w_0+h\right)\right)=E\left[u\left(w_0\right)+h u^{\prime}\left(w_0\right)+\frac{h^2}{2} u^{\prime \prime}\left(w_0\right)+\text { 高阶项 }\right] \\ & =u\left(w_0\right)+E(h) u^{\prime}\left(w_0\right)+\frac{E\left(h^2\right)}{2} u^{\prime \prime}\left(w_0\right)+\text { 高阶项 } \end{aligned} $$

(由于只有 $h$ 是随机变量。) 但是, $E(h)=0$, 再令 $\frac{E\left(h^2\right)}{2}$ 为一常数 $k(>0)$, 略去高阶项, 我们就可得到

$$ u\left(w_0\right)-R u^{\prime}\left(w_0\right) \approx u\left(w_0\right)+k u^{\prime \prime}\left(w_0\right) $$

从而

$$ R \approx-\frac{k u^{\prime \prime}\left(w_0\right)}{u^{\prime}\left(w_0\right)} $$

由于消费者的初始财产水平 $w_0$ 可以任设, 所以, 实际上我们得到了

$$ R \approx-k \frac{u^{\prime \prime}(w)}{u^{\prime}(w)}=k R_a(w) $$

即消费者愿付的保险金 $R$ 与风险规避程度是大致成一个正比例的: 投保人越是厌恶风险, 他便越愿支付高一些的保险金; 反之, 则会只愿承担低一些的保险金。 风险升水与风险大小之间的关系 [图略] 在消费者是风险厌恶者时, 风险升水 $(P)$ (注意, 由于 $E(h)=0$, 所以财产初值 $\bar{w}=E(g)$, 并且 $R=P)$ 的高低与风险本身的大小成正比例。 设消费者有初始财产 $w_0$, 他面临三种赌博, 在第一种赌局里他以一半对一半的概率赢或输 $h$ 单位财产, 我们记该消费者在这一赌局中的期望效用函数为

$$ E\left[u^h(w)\right]=\frac{1}{2} u(w+h)+\frac{1}{2} u(w-h) $$

在第二种赌局里, 他以一半对一半的概率赢或输 $2 h$ 单位财产, 相应地, 其期望效用函数为

$$ E\left[u^{2 h}(w)\right]=\frac{1}{2} u(w+2 h)+\frac{1}{2} u(w-2 h) $$

在第三种赌局里, 他的一半对一半的概率赢或输 $3 h$ 单位财产, 这样,他的期望效用函数为

$$ E\left[u^{3 h}(w)\right]=\frac{1}{2} u(w+3 h)+\frac{1}{2} u(w-3 h) $$

在图中可以看出, 点 $A>B>C$, 即 $E\left[u^h(w)\right]>E\left[u^{2 h}(w)\right]>E$ $\left[u^{3 h}(w)\right]$ 。说明赌局的风险越大, 其期望效用水平会越低。为什么? 这是由于该消费者的财产的边际效用递减。当财富增加时, 尽管他的效用评价也上升, 但上升幅度递减; 但一旦出现失败, 财产受损失, 效用损失却更大,同样幅度的财富的失或增所对应的“失”时的效用损失的幅度大于“赢”时效用增加的幅度。说明这一个人实在太在乎输, 他输不起。 当消费者是风险厌恶者时, 从图中可以看出, 当奖金由 $h$ 上升至 $2 h, 3 h$ 时, 风险升水 (保险价格) $P$ 也会上升。这是由于, 当 $-2 h$ 的损失或 $-3 h$ 的损失出现时, 消费者认为其效用损失比 $-h$ 的损失大得多。相应地, 为了免灾, 会愿支付较高的保险价格。 风险升水与投保人财富水平不一定有关 - 例题5.1 $u(w)=a+b w-c w^2 \quad(a>0, b>0, c>0)$ - 例题5.2 $u(w)=-e^{-A w}=-\exp (-A w) \quad(A>0)$ 不确定条件下的最优选择

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