六、生产函数与规模报酬 #### 生产技术 生产技术 生产的可行性约束：要素投入和最大产出之间的关系。 生产集 可行的要素和产出组合：$Y = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_n, y) | f(x_1, x_2, \cdots, x_n) \geq y \}$。 生产函数 生产集的边界：$Y = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_n, y) | f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = y \}$。 生产函数的性质 - 单调性：要素投入增加，产出至少不减少。（自由处置，free disposal） - 凸性：如果两种方法都能产出同样的产出，那么它们的组合也能产出至少同样多的产出。 #### 一些常见的生产函数 固定比例的生产函数 $y=f\left(x_1, x_2\right)=\min \left\{x_1, x_2\right\}$ 线性的生产函数 $y=f\left(x_1, x_2\right)=x_1+x_2$ 柯布-道格拉斯生产函数 $y=f\left(x_1, x_2\right)=A x_1^\alpha x_2^\beta$ #### 短期和长期 短期 存在固定要素，如土地、资本等。 长期 所有要素都可以变动。 在本章中，我们通常假设两种要素：劳动$L$和资本$K$，并假设资本在短期内是固定的，即$K$是固定的。 #### 短期生产 总产量 $\mathrm{TP}=Q=f(L)$ 平均产量 $\mathrm{AP}=\frac{Q}{L}$ 边际产量 $\mathrm{MP}=\frac{\Delta Q}{\Delta L}$ 证明： 假设生产函数如图所示，那么边际产出曲线会下穿平均产出曲线的最高点。 边际产量递减： 一些要素被固定了，所以可变要素的边际产量可能会递减。（没有被固定时也可能递减，因为偏导数默认其他要素不变。This is a silly proposition.） [图略] #### 生产三阶段 生产三阶段：$0-L_1$第一阶段，$L_1-L_2$第二阶段，$L_2-\infty$第三阶段。 证明： 理性的劳动投入量应该在第二阶段。 短期最优劳动投入： 假设产品和要素价格固定，利润最大化问题：

$$\max_L \pi=p f(L, \bar{K})-w L-r \bar{K}$$

$$ p \cdot \mathrm{MP}_L=w $$

劳动的边际产品价值(VMP)等于劳动的价格。 [图略] #### 长期生产 长期生产函数 $Q=F(L, K)$ 等产量线 产出相等的要素投入的集合。 要素的边际技术替代率 MRTS 等产量线的斜率：表示要素之间的替代关系。

$$ \operatorname{MRTS}_{L, K}=-\frac{d K}{\mathrm{~d} L} $$

$$ \operatorname{MRTS}_{L, K}=\frac{-\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} L}=\frac{\frac{\partial f}{\partial L}}{\frac{\partial f}{\partial K}}=\frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K} $$

凸技术和边际替代率 凸技术的边际替代率递减。（其实只要求生产函数拟凹就可以） [图略] #### 最优要素投入比例 等成本线 $C^0=w L+r K$ 给定任意成本作为预算，寻找最大产出的点；或给定任意产出，寻找成本最小化的点，都有共同的一阶条件：

$$ \frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K}=\frac{w}{r} $$

拉格朗日乘数 $\mu=\frac{\mathrm{MP}_L}{w}=\frac{\mathrm{MP}_K}{r}$ 在最优时, 最后一单位货币投入, 不论其是投在资本上, 还是投在劳动上, 其对产量的贡献必须相等。 [图略] #### 例题6.1 最优劳动投入量 已知某企业的生产函数为

$$ Q=21 L+9 L^2-L^3 $$

1. 求该企业的平均产出函数和边际产出函数。 2. 如果企业现在使用了 3 个劳动力, 试问是否合理? 合理的劳动使用量应在什么范围内? 3. 如果该企业的产品的市场价格为 3 元, 劳动力的市场价格为 63 元。那么, 该企业的最优劳动投入量是多少? #### 长期生产 长期生产函数 $Q=F(L, K)$ 等产量线 产出相等的要素投入的集合。 要素的边际技术替代率 MRTS 等产量线的斜率：表示要素之间的替代关系。

$$ \operatorname{MRTS}_{L, K}=-\frac{d K}{\mathrm{~d} L} $$

$$ \operatorname{MRTS}_{L, K}=\frac{-\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} L}=\frac{\frac{\partial f}{\partial L}}{\frac{\partial f}{\partial K}}=\frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K} $$

凸技术和边际替代率 凸技术的边际替代率递减。（其实只要求生产函数拟凹就可以） [图略] #### 最优要素投入比例 等成本线 $C^0=w L+r K$ 给定任意成本作为预算，寻找最大产出的点；或给定任意产出，寻找成本最小化的点，都有共同的一阶条件：

$$ \frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K}=\frac{w}{r} $$

拉格朗日乘数 $\mu=\frac{\mathrm{MP}_L}{w}=\frac{\mathrm{MP}_K}{r}$ 在最优时, 最后一单位货币投入, 不论其是投在资本上, 还是投在劳动上, 其对产量的贡献必须相等。 [图略] #### 例题6.2 最优投入比例 例 2 : 如果生产函数为 $q=6 K L$, 工资 $w=5$, 利率 (资本成本) $r=10$, 试求劳动 $(L)$ 与资本 $(K)$ 的最优比例。 #### 例题6.3 最优投入比例 例 3: 如生产函数为 $q=\min \{3 L, K\}, W=2, r=2$, 求 $K$ 与 $L$ 的最优比例。 #### 生产经济区 脊线 生产经济区的边界 生产经济区 没有要素投入浪费的区域 [图略] #### 产出弹性、生产力弹性、替代弹性 书上写作劳动的产出弹性、资本的产出弹性，应该是不太好的翻译。Output elasticity with respect to labour翻译为产出的劳动弹性更好，这与需求的价格弹性是一致的。 - 产出的劳动弹性 $E_L=\frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta L}{L}}=\frac{\Delta Q}{\Delta L} \cdot \frac{L}{Q}=\frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{AP}_L}$ - 产出的资本弹性 $E_K=\frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta K}{K}}=\frac{\Delta Q}{\Delta K} \cdot \frac{K}{Q}=\frac{\mathrm{MP}_K}{\mathrm{AP}_K}$ - 生产力弹性 ，在技术与投入价格不变的条件下，所有要素都按同一比例变动时，产出的相对变动对投入要素的相对变动之比。$E_e=\frac{\mathrm{d} Q}{Q} / \frac{\mathrm{d} x}{x}=\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{~d} x} \cdot \frac{x}{Q}$ - 证明 若产量是资本 $(K)$ 与劳动 $(L)$ 的生产函数, 则有

$$ E_e=E_L+E_K $$

- 替代弹性 $ E_\sigma=\frac{\frac{\mathrm{d}\left(\frac{K}{L}\right)}{\frac{K}{L}}}{\frac{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K}\right)}{\frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K}}}=\frac{\mathrm{d}\left(\frac{K}{L}\right)}{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K}\right)} \cdot \frac{\left(\frac{\mathrm{MP}_L}{\mathrm{MP}_K}\right)}{\frac{K}{L}} $ #### 例题6.4 柯布-道格拉斯生产函数 例 4: $f(K, L)=A L^\alpha K^\beta$ (柯布一道格拉斯生产函数) 证明: 1. 替代弹性恒为 1 (即单位替代弹性) 2. $\operatorname{MRTS}_{L, K}=\frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{K}{L}$ 3. $E_e=\alpha+\beta$ #### 规模报酬 $Q=f(K, L)$, 设 $t>1$ 1. 如 $f(t K, t L)>t f(K, L)$ 则称规模报酬递增，生产具有规模经济; 2. 如 $f(t K, t L) 则称规模报酬递减，生产具有规模不经济; 3. 如 $f(t K, t L)=t f(K, L)$ 则称规模报酬不变。 因 $E_e=\frac{\frac{\mathrm{d} Q}{Q}}{\frac{\mathrm{d} X}{X}}$, 设 $\delta=\frac{\mathrm{d} X}{X}$ 为要素变动率, $\mu=\frac{\mathrm{d} Q}{Q}$ 为产出变动率。 则, 1. 当 $E_e>1$, 即 $\mu>\delta$ 时, 规模报酬递增;

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