七、要素需求函数、成本函数、利润函数与供给函数 ### 要素需求函数 - 要素需求函数 利润最大化问题的解：

$$ \max_{x_1,x_2,\ldots,x_n} \pi = p f(x_1,x_2,\ldots,x_n) - w_1x_1 - w_2x_2 - \cdots - w_nx_n $$

- 一阶条件 $MRP_i=MFC_i$，在完全竞争市场，商品和要素价格给定，

$$ MRP_i=VMP_i=pMP_i $$

$$ MFC_i=w_i $$

一阶条件约化为

$$ pMP_i=w_i $$

### 例题7.1 求解要素需求函数 - 例题7.1 $q=A x_1^\alpha x_2^\beta$, 这里 $\alpha>0, \beta>0$, 但 $\alpha+\beta<1, x_1>0, x_2>0$ 。求企业关于 $x_1$ 与 $x_2$ 的需求函数。 - 利润最大化问题需要有解 请确定你的利润最大化问题有解。在商品和要素价格给定的情况下，利润最大化问题有解必须要生产函数规模报酬递减，或至少不能增加（此时利润必然为0）。(范里安中有完整证明和讲解。) - 生产函数为凹函数的情况 在商品和要素价格给定的情况下，当生产函数为凹函数时，利润最大化问题有解。 - 二元函数凹函数判定 我们说 $f\left(x_1, x_2\right)$ 为严格凹, 如果

$$ f_{11}<0, f_{22}<0 $$

并且

$$ \left|\begin{array}{ll} f_{11} & f_{12} \\ f_{21} & f_{22} \end{array}\right|=f_{11} f_{22}-f_{12}^2>0 $$

### 成本函数 - 成本函数 成本函数是成本最小化问题的值函数

$$ \begin{aligned} & C\left(r_1, r_2, q\right) \equiv \min \left(r_1 x_1+r_2 x_2\right) \\ & \text { s.t. } \quad f\left(x_1, x_2\right) \geq q \end{aligned} $$

- 条件要素需求函数 (又称为引致的要素需求函数。) 成本最小化问题的解。 ### 短期成本函数 - 短期总成本函数 短期存在固定成本，总成本函数形如$C=\phi(q)+b$，总成本包括可变成本$VC=\phi(q)$和固定成本$FC=b$，$C=VC+FC$。 - 短期平均成本函数 平均成本$AC=AVC+AFC=C/q$，其中，平均可变成本$AVC=VC/q=\phi(q)/q$，平均固定成本$AFC=FC/q=b/q$。 - 短期边际成本函数 边际成本$MC=dC/dq=d\phi(q)/dq$，与固定成本无关。 ### 边际成本上穿过平均成本和平均可变成本曲线最低点 [图略] ### 边际成本和平均成本跟规模报酬的关系 [图略] ### 利润最大化和成本最小化的二阶条件 利润最大化成立要求边际成本递增：

$$ \begin{aligned} & \pi=p q-\phi(q)-b \\ & \frac{\mathrm{d} \pi}{\mathrm{d} q}=p-\phi^{\prime}(q)=0 \end{aligned} $$

$$ \begin{gathered} \frac{\mathrm{d}^2 \pi}{\mathrm{d} q^2}=-\phi^{\prime \prime}(q)=-\frac{\mathrm{d}^2 C}{\mathrm{~d} q^2}<0 \\ \frac{\mathrm{d}^2 C}{\mathrm{~d} q^2}>0 \end{gathered} $$

### 长期成本函数 - 长期总成本函数 一般可以看作是长期成本最小化问题的值函数。但是，平新乔这本书给出了另一个看待的思路。它将短期成本函数表达为与规模相关的函数。这种思路我们会进行酌情介绍，了解即可。 - 例题7.2 一组短期成本函数由下列函数决定

$$ C=0.04 q^3-0.9 q^2+(11-k) q+5 k^2 $$

(这里 $k=1, k=2, \cdots$ 。) 这是在不同阶段的企业的短期成本函数, 求长期成本函数。 [图略] ### 学习曲线 (了解即可) - 学习曲线 干中学：Learning by doing. 产量的积累会带来生产效率的提高：生产效率是产量的增函数。其余无需掌握。 - 例题7.3 估计学习曲线 例 3: 设有一公司, 在累积产量达到 20 时, 测得总用工为 200 小时; 在累积产量达到 400 时, 测得总用工为 360 小时, 试估计学习曲线。 ### 成本次可加性和规模报酬 本节从成本函数的角度理解规模报酬。先考虑一个只生产一种产品的企业。设 $C(q)$ 为企业生产 $q$ 产量的总成本。注意, $C(q)$ 已是企业决策最优化后的产物, 即 $C(q)$ 已是为生产 $q$ 单位产品的一组投入品的最低成本。为简单起见, 假定成本函数除在零点外是二阶可微

$$ C(q)= \begin{cases}F+\int_0^q C^{\prime}(x) d x & \text { 当 } q>0 \\ 0 & \text { 其他情形 }\end{cases} $$

这里, $F \geq 0$ 为生产的固定成本, $C^{\prime}(x)$ 为边际成本, $\int_0^q C^{\prime}(x) d x$ 实质上就是可变成本。 首先,

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.