九、古诺均衡、伯特兰德均衡和不完全竞争 #### 寡头博弈的分类 | 选择变量/博弈类型 | 同时 | 序贯 | |—————–|–––––––|––––––––––| | 以产量为选择变量 | 古诺博弈 | 产量的“领导一追随”模型 | | 以价格为选择变量 | 伯特兰德博弈 | 价格领导模型 | #### 古诺博弈：市场结构和古诺模型的基本假设 - 市场上只有两家企业，生产完全相同的产品。 - 企业的决策变量是产量，即决定生产多少。 - 两个企业同时决定各自的产量。 - 市场价格 $p$ 是两家企业产量之和的函数：

$$p = p(q_1 + q_2)$$

。 - 每家企业都以利润最大化为目标，决策时需要预测对手的产量。 #### 古诺博弈：利润最大化和反应函数 - 企业 1 的利润最大化问题形式化为：

$$ \max_{q_1} \left\{ p(q_1 + q_2^e) q_1 - C(q_1) \right\} $$

- 反应函数定义： - 企业 1 的反应函数：$q_1 = f_1(q_2^e)$。 - 企业 2 的反应函数：$q_2 = f_2(q_1^e)$。 - 反应函数表示一家企业对另一家企业产量的最佳响应。 #### 古诺博弈：古诺均衡 - 古诺均衡定义：存在产量 $(q_1^*, q_2^*)$，使得：

$$ \begin{array}{l} q_1^* = f_1(q_2^*) \\ q_2^* = f_2(q_1^*) \end{array} $$

- 特点： - 每家企业的产量选择都是对对方产量信念的最优响应。 - 双方的产量信念最终被实践证明是正确的，即理性预期。 - 古诺均衡不仅仅是供求相等，而是博弈论中的均衡状态。 #### 古诺博弈：等利润线与市场需求 - 市场需求函数：

$$p = a - bq$$

（其中 $a > 0, b > 0$）。 - 企业 1 和 企业 2 的等利润线：

$$ \begin{array}{rl} \pi_1(q_1, q_2) & = (a - b(q_1 + q_2)) q_1 \\ \pi_2(q_1, q_2) & = (a - b(q_1 + q_2)) q_2 \end{array} $$

- 等利润线表示在给定对方产量的情况下，一家企业可以达到的所有可能利润水平。 #### 古诺博弈：等利润线和反应函数 画图研究古诺均衡。 #### 古诺博弈：例题9.1 古诺博弈 问题描述 市场需求为 $P = 100 - 0.5(q_1 + q_2)$，成本函数分别为 $c_1 = 5q_1$ 和 $c_2 = 0.5q_2^2$。 求解过程 利润函数为：

$$ \pi_1 = (100 - 0.5(q_1 + q_2)) q_1 - 5 q_1, \quad \pi_2 = (100 - 0.5(q_1 + q_2)) q_2 - 0.5 q_2^2 $$

通过求导并设为零得到反应函数：

$$ q_1 = 95 - 0.5 q_2, \quad q_2 = 50 - 0.25 q_1 $$

解联立方程得古诺均衡产量：$q_1^* = 80$, $q_2^* = 30$。 均衡结果 均衡价格 $p = 45$，利润分别为 $\pi_1 = 3200$ 和 $\pi_2 = 900$。 #### 古诺博弈：多企业条件下的古诺均衡 模型设定 假设市场由 $N$ 个相同的企业组成，每个企业面对相同的成本函数 $C(q_j) = c q_j$。市场需求函数为：

$$p = a - b \left(\sum_{j=1}^N q_j\right)$$

其中 $a > 0$, $b > 0$ 且 $a > c$ 以确保市场的正常运行。 — 企业的利润函数 每个企业 $j$ 的利润函数可以表示为：

$$\pi_j = (a - b \sum_{k=1}^N q_k) q_j - c q_j$$

为求解每个企业的最优产量，我们对利润函数关于 $q_j$ 求导并设为零：

$$\frac{\partial \pi_j}{\partial q_j} = a - b \sum_{k\neq j}^N q_k - c - 2bq_j = 0$$

— 求解均衡 由于所有企业是对称的，我们假设在均衡状态下所有企业产量相同，即 $q_j^* = q^*$ 对所有 $j$。则上式可简化为：

$$a - b N q^* - c - 2bq^* = 0$$

解得：

$$q^* = \frac{a - c}{b(N + 1)}$$

这表示每个企业在均衡状态下的最优产量。 — 行业总产量与价格 行业的总产量为：

$$\sum_{j=1}^N q_j^* = N q^* = \frac{N(a - c)}{b(N + 1)}$$

对应的市场价格为：

$$p = a - b \sum_{j=1}^N q_j^* = a - \frac{N(a - c)}{(N + 1)}$$

— 每个企业的利润 每个企业的利润为：

$$\pi_j = (p - c) q_j^* = \left(a - \frac{N(a - c)}{(N + 1)} - c\right) \frac{a - c}{b(N + 1)}$$

简化得：

$$\pi_j = \frac{(a - c)^2}{b(N + 1)^2}$$

— 价格趋向边际成本的讨论 当 $N \rightarrow \infty$ 时，价格 $p$ 趋向于边际成本 $c$，显示市场结构趋向完全竞争：

$$\lim_{N \rightarrow \infty} p = c$$

这表明，在大量企业参与的市场中，竞争导致价格降至边际成本水平，消除了市场上的垄断利润。 — #### Bertrand博弈 - 两家完全相同的厂商，生产的产品完全相同 - 边际成本 $=$ 单位成本 $= c$，固定成本为零 - 市场需求：

$$Q^d = \alpha - \beta p$$

- 企业1的利润：

$$ \pi_1(p_1, p_2) = \begin{cases} (p_1 - c)(\alpha - \beta p_1) & \text{如} \ 0 < p_1 < p_2 \\ \frac{1}{2}(p_1 - c)(\alpha - \beta p_1) & \text{如} \ 0 < p_1 = p_2 \\ 0 & \text{如} \ 0 < p_2 < p_1 \end{cases} $$

#### Bertrand博弈：Bertrand均衡 - 均衡是惟一的：两家企业的价格相同且等于边际成本$c$，利润等于零 - 证明$p_1 = p_2 = c$是均衡： - 企业总有动力降价直到$p_i = c$，否则会丧失市场 -

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