8. 经济增长1：资本积累与人口增长 ### 资本积累 #### 产品的供给和需求 ##### 产品的供给与生产函数 定义（生产函数） 产出取决于资本存量和劳动力：

\[ Y=F(K, L) \]

(图略) 假设（规模报酬不变） 生产函数对于任何正数 \( z \) 均满足：

\[ zY=F(zK, zL) \]

这意味着资本和劳动同时增加 \( z \) 倍时，产出也增加 \( z \) 倍。 基于规模报酬不变假设，可以得到：

\[ \frac{Y}{L}=F\left(\frac{K}{L}, 1\right) \]

用小写字母表示人均量： - \( y = Y/L \)：人均产出 - \( k = K/L \)：人均资本 则生产函数可简化为：

\[ y = f(k) \]

其中 \( f(k) \equiv F(k,1) \) 经济规模（用工人人数衡量）不影响人均产出和人均资本之间的关系。 定义（资本边际产量） 资本边际产量（MPK）表示每增加一单位资本带来的额外产出：

\[ MPK = f(k+1) - f(k) \]

备注（资本边际产量递减） 随着资本量增加，生产函数变得越来越平坦： - 当 \( k \) 较低时，额外一单位资本产生较多额外产出 - 当 \( k \) 较高时，额外一单位资本仅带来少量产出增加 ##### 产品的需求与消费函数 产品需求来自消费和投资，人均形式表示为：

\[ y = c + i \]

假设（消费函数） 人们每年储蓄收入的 \( s \) 比例，消费 \( (1-s) \) 比例：

\[ c = (1-s)y \]

其中储蓄率 \( s \) 介于0和1之间。政府政策可以影响储蓄率，寻找合意的储蓄率是模型的目标之一。 结合国民收入核算恒等式：

\[ y = (1-s)y + i \]

整理得到：

\[ i = sy \]

备注 投资等于储蓄，储蓄率 \( s \) 同时表示用于投资的产出比例。 备注（模型的基本框架） 在任一时点： - 生产函数 \( y = f(k) \) 决定产出水平 - 储蓄率 \( s \) 决定产出在消费和投资间的配置 #### 资本存量的增长与稳定状态 (图略) 资本存量的变动受两种力量影响： - 投资：用于新工厂和设备的支出，使资本存量增加 - 折旧：原有资本的磨损，使资本存量减少 ##### 投资 人均投资可表示为人均资本存量的函数：

\[ i = s f(k) \]

这个方程将现有资本存量 \( k \) 与新资本积累 \( i \) 联系起来。对于任一 \( k \) 值： - 产出由生产函数 \( f(k) \) 决定 - 产出在消费和储蓄间的配置由储蓄率 \( s \) 决定 ##### 折旧 假设（折旧率） 假设每年有比例 \( \delta \) 的资本存量会被磨损，其中 \( \delta \) 称为折旧率。 每年折旧的资本量为 \( \delta k \)。例如，如果资本平均使用25年，则年折旧率为4% (\( \delta = 0.04 \))。 (图略) ##### 资本存量的动态变化 资本存量的变动可表示为：

\[ \Delta k = i - \delta k \]

代入投资函数得到：

\[ \Delta k = s f(k) - \delta k \]

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