不确定性 ### 或然消费 或然消费 (contingent consumption) 是指消费者关注不同消费束的概率分布。购买彩票或投资股票等都是在选择不同概率分布的消费模式。 #### 示例：彩票购买 假设有 \$100，购买彩票 13 号，中奖得 \$200，彩票价格 \$5。 - 不买彩票：确定拥有 \$100 - 买彩票：中奖有 \$295，不中奖有 \$95 #### 示例：保险购买 假设资产 \$35,000，可能损失 \$10,000，概率 \( p=0.01 \)。 - 保险合同：支付 \$1 保险费，损失发生时赔付 \$100 - 购买 \$10,000 保险，支付 \$100 保险费 - 结果：无论损失是否发生，资产均为 \$34,900 #### 备注 一般保险情况下，购买 \( K \) 保险，支付 \( \gamma K \) 保险费： - 概率 0.01：资产为 \$25,000 + \( K - \gamma K \) - 概率 0.99：资产为 \$35,000 - \( \gamma K \) #### 定义：或然消费计划 或然消费计划 (contingent consumption plan) 描述在不同自然状态下的消费。例如： - 保险合同描述了损失发生和未发生时的资产情况 - 热天和冷天的冰淇淋消费 消费者对不同消费计划有偏好，可使用无差异曲线分析保险购买决策。 - 自然状态：损失发生和未发生 - 或然消费：每种情况下的资产 - 预算线斜率：\(\frac{\Delta C_{g}}{\Delta C_{b}} = -\frac{\gamma}{1-\gamma}\) - 无差异曲线凸形：表示偏好稳定消费 - 最优选择：无差异曲线与预算线相切 图略 #### 灾难债券 保险市场分为零售（直接面对终端买家）和批发（再保险市场）。再保险市场依赖大型投资者，如养老金基金或私人大投资者。 ##### 定义：灾难债券 灾难债券 (catastrophe bond) 由再保险公司或投资银行发行，绑定特定可保险事件（如地震）。 - 无地震：投资者获得高利率回报 - 有地震且索赔超过指定金额：投资者损失本金和利息 ##### 备注 灾难债券的优点： - 风险分散，可无限细分 - 资金提前支付，无违约风险 ##### 备注 从经济学视角看，灾难债券是一种状态或然证券 (state-contingent security)。 - 概念由诺贝尔经济学奖得主 Kenneth J. Arrow 在 1952 年提出 - 现代金融衍生品，如期权和灾难债券，应用该理论 ##### 备注 参考：Arrow–Debreu model ### 效用函数与概率 若消费者对不同情境下的消费有理性的（reasonable）偏好，则可用效用函数描述这些偏好。合理的偏好需要满足一些假设。 Remark [不确定性选择] 在不确定性下，某状态消费的价值取决于该状态发生的概率。消费者愿意在不同状态下替代消费的比率与其对状态发生概率的信念有关。 Definition [风险状态下的效用函数] 效用函数依赖于概率和消费水平。设： - $c_1$ 和 $c_2$ 分别表示状态 1 和状态 2 下的消费 - $\pi_1$ 和 $\pi_2$ 分别表示状态 1 和状态 2 发生的概率 - 若两状态互斥，则 $\pi_2 = 1 - \pi_1$ 效用函数可表示为 $u(c_1, c_2, \pi_1, \pi_2)$。 #### 效用函数示例 Example [完全替代效用函数] 考虑不确定性下的完全替代效用函数：

$$ u(c_1, c_2, \pi_1, \pi_2) = \pi_1 c_1 + \pi_2 c_2 $$

该表达式称为期望值（expected value），表示平均消费水平。 Remark 完全替代效用函数假设消费者对不同状态下的消费完全无差异，只关心期望消费水平。这种假设在现实中较为罕见，因为大多数人表现出风险厌恶行为。 Example [Cobb-Douglas效用函数] 不确定性下的柯布-道格拉斯效用函数可表示为：

$$ u(c_1, c_2, \pi, 1-\pi) = c_1^\pi c_2^{1-\pi} $$

这种形式以非线性方式依赖消费模式。对数变换后的效用函数为：

$$ \ln u(c_1, c_2, \pi_1, \pi_2) = \pi_1 \ln c_1 + \pi_2 \ln c_2 $$

Remark 柯布-道格拉斯效用函数的对数形式与完全替代效用函数类似，但使用了消费的对数值。这种形式反映了边际效用递减的特性，更符合大多数消费者的实际行为。 - 完全替代效用函数假设消费者对风险无偏好，仅关注期望消费。 - 柯布-道格拉斯效用函数反映了风险厌恶行为，更接近现实情况。 - 对数变换后的柯布-道格拉斯效用函数便于分析和计算。 - 这两种效用函数为分析不确定性下的消费者行为提供了理论基础。 ### 期望效用 定义 [期望效用函数 (expected utility function)] 期望效用函数的一般形式为：

$$ u(c_1, c_2, \pi_1, \pi_2) = \pi_1 v(c_1) + \pi_2 v(c_2) $$

其中，效用为各状态消费函数的加权和，权重为概率 $\pi_1$ 和 $\pi_2$。 示例 [特殊情况] 期望效用函数的两个特殊情况： - 完全替代：$v(c) = c$ - 柯布-道格拉斯：在 $\ln c$

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.