风险资产 ### 均值-方差效用 在研究了不确定性下的个人行为模型及保险市场和股票市场在处理不确定性中的作用后，本章将进一步探讨股票市场如何分配风险。为此，我们考虑一个简化的行为模型——均值-方差模型。 备注： 均值-方差模型假设投资者的效用取决于概率分布的均值和方差。 对于随机变量 $w$，其主要统计特征如下： - 均值 (mean)：

$$ \mu_{w}=\sum_{s=1}^{S} \pi_{s} w_{s} $$

- 方差 (variance)：

$$ \sigma_{w}^{2}=\sum_{s=1}^{S} \pi_{s}\left(w_{s}-\mu_{w}\right)^{2} $$

- 标准差 (standard deviation)：

$$ \sigma_{w}=\sqrt{\sigma_{w}^{2}} $$

在均值-方差模型中，效用函数可表示为：

$$ u\left(\mu_{w}, \sigma_{w}^{2}\right) \text{ 或 } u\left(\mu_{w}, \sigma_{w}\right) $$

该模型基于以下假设： - 较高的预期收益是好的 - 较高的方差是坏的（反映风险厌恶） 图略 备注： 图 A 和图 B 直观地展示了均值和方差的概念。图 A 表示正均值情况，而图 B 表示负均值情况。同时，图 A 的分布更加分散，这意味着它具有更大的方差。 ### 投资组合问题 投资组合问题涉及两种主要资产类型： - 无风险资产 (risk-free asset)：收益率固定，记为 $r_f$ - 风险资产 (risky asset)：收益波动，预期收益为 $r_m$，标准差为 $\sigma_m$ 对于一个投资组合，其特征可以用以下公式表示： 预期收益： $r_x = x r_m + (1 - x) r_f$ 方差： $\sigma_x^2 = x^2 \sigma_m^2$ 标准差： $\sigma_x = x \sigma_m$ 其中 $x$ 为投资于风险资产的比例。 通常假设 $r_m > r_f$，这意味着增加风险资产投资比例会提高预期收益，但同时也会增加风险。 图略 风险价格 (price of risk) 定义为：

$$ p = \frac{r_m - r_f}{\sigma_m} $$

它表示投资者为获得更高预期收益而愿意承担的额外风险。 最优投资组合的条件是：

$$ \text{MRS} = -\frac{\Delta U / \Delta \sigma}{\Delta U / \Delta \mu} = \frac{r_m - r_f}{\sigma_m} $$

这意味着边际替代率等于风险价格。在均衡状态下，所有个人的边际替代率（MRS）相等。 当引入新的风险资产时，情况可能会变得更加复杂： 图略 对于新引入的风险资产，我们可以得出以下结论： - 新的预算集包含原有预算集 - 投资 $y$ 和无风险资产的组合优于仅投资 $x$ 和无风险资产 - 若只能全部投资于 $x$ 或 $y$，投资者可能更偏好 $x$ - 若允许混合投资，则更偏好包含 $y$ 的组合 这种情况说明了多样化投资的重要性。即使单独来看某个资产可能不如另一个资产吸引人，但在投资组合中结合使用可能会带来更好的风险-收益平衡。 ### 测量风险 在投资组合理论中，风险的测量是一个核心问题。不同情况下，风险的测量方法也有所不同： - 单一风险资产：风险量度为其标准差 (standard deviation) - 多风险资产：需考虑总财富的均值和方差 对于资产组合风险，我们需要考虑： - 资产收益间的相互作用对总财富的均值和方差的影响 - 各资产的边际影响决定其在组合中的价值 例子 考虑两个负相关资产A和B： - 资产A：价值为

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