消费者剩余 ### 需求函数与效用的关系 需求函数与效用之间存在密切的关系。这种关系在理论和实证分析中都具有重要意义： - 在理论分析中，消费者需求函数可以通过偏好或效用函数推导得出。 - 在实证研究中，经济学家常常需要从观察到的需求行为来估计消费者的偏好或效用函数。 本教材的不同章节讨论了几种从需求行为估计效用的方法。 ### 离散商品的需求 本节回顾第6章中关于拟线性效用下离散商品需求的讨论，并进一步探讨其特性。 假设效用函数为 $v(x) + y$，其中： - $x$ 为离散商品的消费量 - $y$ 代表用于其他商品的货币（价格标准化为1） - $p$ 为商品 $x$ 的价格 在这种情况下，消费者行为可以用保留价格来描述：

$$ r_{1} = v(1) - v(0), \quad r_{2} = v(2) - v(1), \ldots $$

若消费者需求 $n$ 单位离散商品，则必须满足：

$$ r_{n} \geq p \geq r_{n+1} $$

备注： 保留价格 $r_i$ 表示消费者愿意为第 $i$ 单位商品支付的最高价格。 举例说明：假设在价格 $p$ 下，消费者选择消费6单位商品 $x$，则： - 对于任意 $x$，都有：

$$ v(6) + m - 6p \geq v(x) + m - px $$

- 特别地，对于 $x = 5$：

$$ v(6) + m - 6p \geq v(5) + m - 5p \Rightarrow r_{6} \geq p $$

- 对于 $x = 7$：

$$ v(6) + m - 6p \geq v(7) + m - 7p \Rightarrow p \geq r_{7} $$

这个例子说明，若消费者需求6单位商品 $x$，则价格 $p$ 必须满足 $r_{6} \geq p \geq r_{7}$。 保留价格列表包含了描述需求行为的所有必要信息。在图形上，保留价格形成了一个”阶梯”，即离散商品的需求曲线，如图略。 备注： 离散商品的需求曲线呈现阶梯状，而非连续的曲线，这反映了离散选择的本质特征。 ### 从需求构建效用 在拟线性效用（quasi-linear utility）的情况下，我们可以从给定的需求曲线构建相应的效用函数。这一过程揭示了需求与效用之间的密切关系。 定义（保留价格 Reservation Price） 保留价格是消费者愿意为额外一单位商品支付的最高价格，可以表示为效用的差值：

\[ \begin{aligned} & r_{1} = v(1) - v(0) \\ & r_{2} = v(2) - v(1) \\ & r_{3} = v(3) - v(2) \end{aligned} \]

其中 \( v(n) \) 表示消费 \( n \) 单位商品的效用。 效用函数的构建过程如下： - 计算 \( v(3) \):

\[ r_{1} + r_{2} + r_{3} = v(3) - v(0) \]

- 假设 \( v(0) = 0 \)，则 \( v(n) \) 为前 \( n \) 个保留价格之和。 备注 这种构建方法展示了需求曲线与效用函数之间的直接关系。在图形上，消费 \( n \) 单位离散商品的效用等于需求函数下前 \( n \) 个矩形的面积。 这个面积被称为总收益（gross benefit）或总消费者剩余（gross consumer surplus）。 定义（总效用 Total Utility） 总效用可以表示为：

\[ v(n) + m - pn \]

其中 \( m \) 为货币收入，\( p \) 为商品单价，\( n \) 为消费数量。 总效用也可以用图形面积表示：图略。 定义（净消费者剩余 Net Consumer Surplus） 净消费者剩余定义为：

\[ v(n) - pn \]

表示消费者从购买商品中获得的净收益。 净消费者剩余是效用 \( v(n) \) 减去对商品的支出，如图略所示。 图略 备注 效用 \( U \) 和消费者剩余 \( CS \) 的等价一般需要假设效用函数是拟线性形式。更具体的讨论可以参考塞拉诺《中级微观经济学精要》。 ### 消费者剩余的其他解释 消费者剩余 (consumer surplus) 的概念可以从多个角度进行理解和解释。以下是一些常见的解释方式： - 单位剩余累加： - 在价格 $p$ 下，消费者对第1单位商品的价值为 $r_{1}$，但只需支付 $p$，产生”剩余” $r_{1} - p$。 - 对第2单位商品的剩余为 $r_{2} - p$，以此类推。 - 总消费者剩余可表示为:

$$ CS = r_{1} - p + r_{2} - p + \cdots + r_{n} - p = r_{1} + \cdots + r_{n} - np $$

- 这等价于:

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.