成本最小化 图略 ### 成本最小化问题 本节研究利润最大化厂商在竞争和非竞争市场环境中的行为。我们将通过分解利润最大化问题，首先研究如何最小化生产给定产量的成本，然后研究如何选择最盈利的产量。 假设有两个生产要素，价格分别为 $w_1$ 和 $w_2$，我们的目标是找到生产给定产量 $y$ 的最低成本方法。 定义 [成本最小化问题](cost minimization problem) 在给定产量约束下，寻找最小化总成本的要素组合。 数学表达如下：

$$ \begin{aligned} \min_{x_1, x_2} & \quad w_1 x_1 + w_2 x_2 \\ \text{约束条件} & \quad f(x_1, x_2) = y \end{aligned} $$

定义 [成本函数](cost function) 成本函数 $c(w_1, w_2, y)$ 是生产 $y$ 单位产量的最小成本，是 $w_1$、$w_2$ 和 $y$ 的函数。 - 等成本线 定义 [等成本线](isocost line) 等成本线表示给定成本 $C$ 下各种可能的生产要素组合：

$$ w_1 x_1 + w_2 x_2 = C $$

重排该方程得：

$$ x_2 = \frac{C}{w_2} - \frac{w_1}{w_2} x_1 $$

这是一条斜率为 $-\frac{w_1}{w_2}$ 的直线，垂直截距为 $\frac{C}{w_2}$。 - 成本最小化的图形解释 成本最小化问题可以理解为在等产量线上找到最低等成本线处的点。 图略 - 切线条件 命题 [成本最小化的切线条件](cost minimization tangency condition) 如果最优解使用了每种要素且等产量线是平滑曲线，则满足：

$$ -\frac{MP_1(x_1^*, x_2^*)}{MP_2(x_1^*, x_2^*)} = \operatorname{TRS}(x_1^*, x_2^*) = -\frac{w_1}{w_2} $$

其中，技术替代率（TRS）等于要素价格比。 - 条件要素需求函数 定义 [条件要素需求函数](conditional factor demand functions) 条件要素需求函数是在给定产量 $y$ 下，最优要素选择 $x_1(w_1, w_2, y)$ 和 $x_2(w_1, w_2, y)$。 备注 条件要素需求与利润最大化要素需求不同，它给出的是在给定产量下的成本最小化选择。 ### 特定技术的成本最小化例子 以下是几种特定生产技术的成本最小化结果： 例子 [完全互补技术](perfect complements technology) 对于完全互补技术，以要素1:1的互补技术为例：$f(x_1, x_2) = \min \{x_1, x_2\}$，成本函数为：

$$ c(w_1, w_2, y) = (w_1 + w_2) y $$

例子 [完全替代技术](perfect substitutes technology) 对于完全替代技术，以要素1:1的替代技术为例：$f(x_1, x_2) = x_1 + x_2$，成本函数为：

$$ c(w_1, w_2, y) = \min \{w_1, w_2\} y $$

例子 [柯布-道格拉斯技术](cobb-douglas technology) 对于柯布-道格拉斯技术：$f(x_1, x_2) = x_1^a x_2^b$，成本函数为：

$$ c(w_1, w_2, y) = K w_1^{\frac{a}{a+b}} w_2^{\frac{b}{a+b}} y^{\frac{1}{a+b}} $$

其中 $K$ 是一个常数，依赖于 $a$ 和 $b$。 ### 显示成本最小化 定义 [成本最小化弱公理] 成本最小化弱公理（WACM）描述了成本最小化行为的基本原则。 假设企业选择要素以最小化生产成本，我们观察到两个价格集和相应的选择：

$$(w_1^t, w_2^t), (w_1^s, w_2^s)$$

$$(x_1^t, x_2^t), (x_1^s, x_2^s)$$

其中，每个选择在其相关价格下都是成本最小化选择。若每个选择生产相同产量 $y$，则需满足成本最小化条件：

$$ w_1^t x_1^t + w_2^t x_2^t \leq w_1^t x_1^s + w_2^t x_2^s $$

$$ w_1^s x_1^s + w_2^s x_2^s \leq w_1^s x_1^t + w_2^s x_2^t $$

通过变形和相加，我们得到：

$$ (w_1^t - w_1^s) (x_1^t - x_1^s) + (w_2^t - w_2^s) (x_2^t - x_2^s) \leq 0 $$

简化表示为：

$$ \Delta w_1 \Delta x_1 + \Delta w_2 \Delta x_2 \leq 0 $$

备注 成本最小化弱公理也只是成本最小化的必要条件。要满足充分条件，至少需要也满足上面变形和相加前的两个不等式。 命题 [条件要素需求函数的性质] 若第一种要素价格增加，第二种保持不变（$\Delta w_2 = 0$），则： $$ \Delta w_1

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