交换 # 如果有进一步的内容，请继续提供，我会帮助翻译。 ### 埃奇沃斯盒 交换是经济学的核心概念之一，涉及多个市场和商品的相互作用。分析交换问题时，我们可以使用部分均衡分析（仅考虑单一商品）或一般均衡分析（考虑多个市场的相互作用）。为了简化分析，我们通常做出以下假设： - 假设市场是竞争性的 - 考虑最少数量的商品和消费者（通常为两个） - 将问题分为纯交换和生产行为两个阶段 埃奇沃斯盒（Edgeworth box）是一个强大的图示工具，用于分析两个人之间两种商品的交换。它可以表示初始禀赋和偏好，并帮助我们研究交易过程的可能结果。 在埃奇沃斯盒分析中，有两个关键概念： 定义：配置 配置指两个消费者 $A$ 和 $B$ 的消费束组合，其中 $A$ 的消费束为 $X_{A}=(x_{A}^{1}, x_{A}^{2})$，$B$ 的消费束为 $X_{B}=(x_{B}^{1}, x_{B}^{2})$。 定义：可行配置 满足以下条件的配置：

$$ \begin{aligned} & x_{A}^{1} + x_{B}^{1} = \omega_{A}^{1} + \omega_{B}^{1} \\ & x_{A}^{2} + x_{B}^{2} = \omega_{A}^{2} + \omega_{B}^{2} \end{aligned} $$

其中 $(\omega_{A}^{1}, \omega_{A}^{2})$ 和 $(\omega_{B}^{1}, \omega_{B}^{2})$ 表示初始禀赋配置。 埃奇沃斯盒具有以下特点： - 盒子的尺寸表示经济中两种商品的总量 - 两个消费者的选择从盒子的对角测量 - 盒子中的每一点都代表一个可行配置 - 无差异曲线的绘制方式反映了两个消费者的偏好 图略 备注 埃奇沃斯盒提供了一种直观的方式来理解两个消费者之间的交换过程和可能的结果。它不仅可以显示初始禀赋和最终配置，还能展示达到这些配置的可能路径。 ### 交易 在埃奇沃斯盒中，我们从原始禀赋点 $W$ 开始分析交易过程。在这一点上，消费者 $A$ 和 $B$ 的无差异曲线交叉。 交易的可能性和方向由以下因素决定： - $A$ 的改进区域：位于其无差异曲线之上的区域 - $B$ 的改进区域：位于其无差异曲线之下的区域（从 $B$ 的视角看） - 这两个区域的交集形成一个透镜形区域，代表了互利交易的空间 例子 假设交易发生在点 $M$ 处： - 消费者 $A$ 放弃 $|x_{A}^{1}-\omega_{A}^{1}|$ 单位的商品1，获得 $|x_{A}^{2}-\omega_{A}^{2}|$ 单位的商品2 - 消费者 $B$ 获得 $|x_{B}^{1}-\omega_{B}^{1}|$ 单位的商品1，放弃 $|x_{B}^{2}-\omega_{B}^{2}|$ 单位的商品2 备注 交易将持续进行，直到没有进一步的互利交易机会。这种情况通常发生在两个消费者的无差异曲线相切的点上，也就是契约线上。 图略。 契约线（contract curve）是埃奇沃斯盒中的一条重要曲线，它连接了所有可能的帕累托最优配置。在凸偏好的假设下，这些配置点的特征是两个消费者的无差异曲线相切，表示在这些点上，无法通过交易使一方受益而不使另一方受损。 ### 帕累托有效配置 定义（帕累托有效配置，Pareto efficient allocation） 一种资源配置状态，在这种状态下，无法通过重新分配使某些人变得更好而不使其他人变得更差。 帕累托有效配置具有以下特征： - 无法让所有人都变得更好 - 无法让某些人变得更好而不让其他人变得更差 - 所有交易收益已被耗尽 - 不存在互利的交易机会 在埃奇沃斯盒中，帕累托有效配置的几何表现如下： - 在盒子内部：两个代理人的无差异曲线相切 - 在盒子边界：可能出现无差异曲线不相切的情况 定义（契约线，contract curve） 所有帕累托有效点的集合，也称为帕累托集合。通常从 $A$ 的原点延伸到 $B$ 的原点。 契约线具有以下特点： - 描述所有互利交易的可能结果 - 初始禀赋决定消费者在帕累托集合中偏好的子集 - 帕累托集合本身不依赖于初始禀赋 图略。 备注 契约线上的每一点都代表一个帕累托有效的资源配置。然而，这些点之间可能存在显著的分配差异。选择哪一个特定的帕累托有效点作为最终结果，往往取决于初始禀赋、交易过程以及可能存在的其他制度因素。 ### 市场交易 市场交易机制通常被模拟为一个”拍卖师”设定商品价格 $(p_{1}, p_{2})$，然后代理人根据这些价格决定他们的购买量。这种机制模拟了竞争市场。 在分析市场交易时，有两个关键概念： 总需求 (total demand) 代理人想消费的商品总量。 净需求 (net demand)/超额需求 (excess demand) 总需求与初始禀赋的差值。对于代理人 $A$ 和商品1，表示为：

$$ e_{A}^{1}=x_{A}^{1}-\omega_{A}^{1} $$

市场不平衡可能以两种形式出现： - 净需求不平衡：一方的买卖量不等于另一方的卖买量 - 总需求不平衡：想持有的商品总量不等于可用总量 为了达到平衡，价格会进行调整： - 当出现超额需求时，价格上升 - 当出现超额供给时，价格下降 市场均衡 (market equilibrium)/竞争均衡 (competitive equilibrium)/瓦尔拉斯均衡 (Walrasian equilibrium) 一种状态，其中每个消费者选择最优可负担的消费束，且所有消费者的选择使得每个市场的供需相等。 均衡具有以下特征： - 每个消费者的边际替代率等于价格比率 - 所有消费者面对相同价格，因此边际替代率相同 - 每个代理人的无差异曲线与预算线相切 图略 图略 ### 均衡的代数表示 市场均衡可以用代数方式精确表示。均衡条件可以表述为：存在价格 $(p_{1}^{*}, p_{2}^{*})$ 满足

$$ \begin{aligned} & x_{A}^{1}(p_{1}^{*}, p_{2}^{*}) + x_{B}^{1}(p_{1}^{*}, p_{2}^{*}) = \omega_{A}^{1} + \omega_{B}^{1} \\ & x_{A}^{2}(p_{1}^{*}, p_{2}^{*}) + x_{B}^{2}(p_{1}^{*}, p_{2}^{*}) = \omega_{A}^{2} + \omega_{B}^{2} \end{aligned} $$

为了更好地理解这个条件，我们引入总超额需求函数的概念： 定义（总超额需求函数） 对于商品1，总超额需求函数可表示为

$$ \begin{aligned} z_{1}(p_{1}, p_{2}) & = e_{A}^{1}(p_{1}, p_{2}) + e_{B}^{1}(p_{1}, p_{2}) \\ & = x_{A}^{1}(p_{1}, p_{2}) + x_{B}^{1}(p_{1}, p_{2}) - \omega_{A}^{1} - \omega_{B}^{1} \end{aligned} $$

商品2的总超额需求函数 $z_{2}(p_{1}, p_{2})$ 可以类似定义。 使用总超额需求函数，我们可以将均衡条件重新表述为：

$$ \begin{aligned} & z_{1}(p_{1}^{*}, p_{2}^{*}) = 0 \\ & z_{2}(p_{1}^{*}, p_{2}^{*}) = 0 \end{aligned} $$

### 瓦尔拉斯法则 定理（瓦尔拉斯法则） 对于任意价格 \( p_{1} \) 和 \( p_{2} \)，总超额需求的价值恒等于零：

\[ p_{1} z_{1}(p_{1}, p_{2}) + p_{2} z_{2}(p_{1}, p_{2}) \equiv 0 \]

证明 我们从两个代理人的预算约束开始： 对于代理人 \( A \)：

\[ p_{1} x_{A}^{1}(p_{1}, p_{2}) + p_{2} x_{A}^{2}(p_{1}, p_{2}) \equiv p_{1} \omega_{A}^{1} + p_{2} \omega_{A}^{2} \]

重排得到：

\[ p_{1} e_{A}^{1}(p_{1}, p_{2}) + p_{2} e_{A}^{2}(p_{1}, p_{2}) \equiv 0 \]

类似地，对于代理人 \( B \)：

\[ p_{1} e_{B}^{1}(p_{1}, p_{2}) + p_{2} e_{B}^{2}(p_{1}, p_{2}) \equiv 0 \]

将两个等式相加，得到：

\[ p_{1} z_{1}(p_{1}, p_{2}) + p_{2} z_{2}(p_{1}, p_{2}) \equiv 0 \]

瓦尔拉斯法则有重要的应用： - 如果 ( z_{1}(p_{1}^{*},

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