福利 内容以双栏形式呈现 ### 偏好的加总 福利经济学不仅关注资源分配的效率，还探讨如何评估和比较不同的分配方案。本节将介绍一些重要概念和方法。 定义: 帕累托效率 (Pareto efficiency) 是指一种资源分配状态，在该状态下无法在不损害至少一个人利益的情况下使任何人获得更多利益。 帕累托效率仅关注资源分配的效率，不涉及福利分配的公平性。为了更全面地评估不同的分配方案，经济学家引入了福利函数的概念。 定义: 福利函数 (welfare function) 是一种数学工具，用于合并不同消费者的效用，并对不同的效用分配进行排序。 在讨论社会福利时，我们需要考虑如何将个体偏好转化为社会偏好。这个过程被称为偏好加总 (preference aggregation)。 - 假设消费者偏好满足传递性。 - 用符号 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 分别表示两种不同的分配方案。 - 每个个体 $i$ 可以比较 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的偏好。 - 目标是将这些个体偏好加总为社会偏好。 备注: 偏好加总是一个复杂的过程，因为它涉及将不同个体的主观偏好转化为一个统一的社会偏好。这个过程可能会遇到诸如阿罗不可能定理 (Arrow’s impossibility theorem)等理论挑战。 #### 投票作为偏好加总方法 定义: 投票 (voting) 是一种将个体偏好转化为集体决策的方法。 然而，投票可能导致非传递性结果，使得无法得出”最佳”选择。以下是一个示例： | 选民 A | 选民 B | 选民 C | |––––|––––|––––| | x | y | z | | y | z | x | | z | x | y | 导致非传递性投票的偏好示例 在这个例子中： - 多数人偏好可能导致非传递性。 - 投票的顺序会影响最终结果。 备注: 这种现象被称为投票悖论 (voting paradox)或康多塞悖论 (Condorcet paradox)。它揭示了简单多数投票制度在某些情况下可能无法产生一致和稳定的集体决策。 #### 排名投票 另一种偏好加总方法是排名投票。 定义: 排名投票 (rank-order voting) 是指每个投票者根据偏好给物品排名，分数低者优先。 | 选民 A | 选民 B | |––––|––––| | x | y | | y | z | | z | x | 排名投票示例 然而，排名投票也存在问题： - 结果可能受新选择的引入影响。 - 无论是多数投票还是排名投票，均可能被策略性操控。 备注: 排名投票虽然能够更全面地反映投票者的偏好，但它仍然面临**无关选项独立性 (independence of irrelevant alternatives)**问题。这意味着引入新的选项可能会改变原有选项之间的相对排序。 #### 理想社会决策机制的特性 一个理想的社会决策机制应满足以下特性： 1. 结果应满足完备性、反身性和传递性。 2. 如果所有人偏好 $\mathbf{x}$ 胜于 $\mathbf{y}$，社会偏好也应如此（一致性原则 (unanimity principle)）。 3. $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的比较应仅依赖于对它们的排名，不受其他选择影响（独立性原则 (independence principle)）。 然而，阿罗不可能性定理指出，满足这些特性的社会决策机制是不可能的。 定理: 阿罗不可能性定理 若社会决策机制满足上述特性，则该机制必为独裁，即社会排名等同于某一人的排名。 备注: 阿罗不可能性定理 (Arrow’s impossibility theorem) 表明，无法完美加总个体偏好以形成社会偏好。这一结果对社会选择理论和福利经济学产生了深远影响，促使经济学家探索其他评估社会福利的方法。 ### 社会福利函数 在构建社会福利函数时，我们通常需要放松某些理想特性。最常被舍弃的是第三条特性：社会偏好仅依赖于两个选项的排名。这允许我们考虑更多信息来做出社会决策。 定义 [社会福利函数] 社会福利函数 (social welfare function) 是一种个体效用函数的函数 $W\left(u_{1}(\mathbf{x}), \ldots, u_{n}(\mathbf{x})\right)$，其中 $W$ 在每个个体效用上递增。 在这个框架下： - $u_{i}(\mathbf{x})$ 表示个体 $i$ 的效用函数，反映其对分配 $\mathbf{x}$ 的偏好。 - 社会偏好可通过加总个体效用得到：若 $\sum_{i=1}^{n} u_{i}(\mathbf{x}) > \sum_{i=1}^{n} u_{i}(\mathbf{y})$，则认为分配 $\mathbf{x}$ 优于 $\mathbf{y}$。 - 效用函数的表示方式和加总方式可以多样化，例如可以使用加权和或效用乘积等。 备注 社会福利函数的引入为比较不同分配方案提供了一个数学框架。然而，这种方法也面临着如何合理定义和度量个体效用，以及如何在不同个体间进行效用比较等挑战。 #### 社会福利函数的例子 以下是几种常见的社会福利函数： 1. 经典功利主义 (classical utilitarian) 或 边沁福利函数 (Benthamite welfare function):

$$ W\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) = \sum_{i=1}^{n} u_{i} $$

2.

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