效用 ### 效用理论 效用 (utility) 是描述消费者偏好的工具。在消费者选择理论中，最大化效用意味着选择最优的消费组合。现代经济学中，效用不再作为幸福的度量，而是用来描述偏好。 - 效用的测量问题： - 如何量化不同选择的效用？ - 不同人的效用能否比较？ - 额外的巧克力棒与额外的胡萝卜的效用如何对比？ 效用函数 (utility function) 为每个消费束分配一个数值，偏好更高的消费束分配更大的数值。符号表示为：$ (x_1, x_2) \succ (y_1, y_2) $ 当且仅当 $ u(x_1, x_2) > u(y_1, y_2) $。 序数效用 (ordinal utility) 强调效用的排序，而不关注效用差异的大小。这意味着我们只关心哪些消费束比其他更受偏好，而不关心它们之间的效用差距有多大。 例子 表 4.1 展示了不同效用分配方式，但排序相同。这说明尽管效用值不同，但偏好顺序保持不变。 | | 消费束 | $U_1$ | $U_2$ | $U_3$ | |—|—|—|—|—| | A | 3 | 17 | -1 | | B | 2 | 10 | -2 | | C | 1 | 0.002 | -3 | 表 4.1 不同效用分配方式 单调变换 (monotonic transformation) 是一种保持数值顺序的变换方式。例如，$ f(u) = 3u $ 或 $ f(u) = u + 17 $。单调变换总是正斜率，即 $df/du>0$，如图略所示。 备注 单调变换后的效用函数与原效用函数表示相同的偏好。几何上，效用函数只是无差异曲线的标签，单调变换只是重新标记这些标签。 ### 基数效用 基数效用 (cardinal utility) 理论强调效用差异的大小，认为不同消费束之间的效用差异有实际意义。与序数效用不同，基数效用试图通过效用差异的大小来衡量偏好。 序数效用通过提供选择并观察选择结果来判断偏好。在对消费束分配效用时，选择的消费束效用更高即可，而无需考虑效用差异的大小。 现代经济学采用纯粹的序数效用框架来描述消费者选择行为，既因为基数效用的构建无论从现实意义上还是从逻辑学角度都不切实际，也因为我们完全可以只用序数效用框架就构建起消费者选择理论。 ### 构造效用函数 构造效用函数是将消费者的偏好转化为数值形式的一种方法，尽管在实际应用中，通常不需要详细了解构造过程。 * 效用函数的存在性： * 并非所有的偏好排序都能用效用函数表示。例如，非传递性偏好 $A \succ B \succ C \succ A$ 无法用效用函数表示，因为它违反了传递性原则。 * 理性偏好： 理性偏好 满足传递性的偏好称为理性偏好。对于理性偏好，通常可以找到效用函数来表示。 * 无差异曲线与效用函数： * 无差异曲线图可以用于构造效用函数。效用函数是标记无差异曲线的方法，偏好更高的无差异曲线会被赋予更大的数值。 * 构造效用函数的方法： 图略 * 构造效用函数的一般步骤： 1. 在图上画一条对角线。 2. 根据对角线与无差异曲线的距离对无差异曲线进行标记。 3. 如果偏好是单调的，对角线必须与每条无差异曲线相交一次，以确保偏好的一致性。 * 序数效用函数的适用性： * 这种方法展示了序数效用函数的广泛适用性。绝大多数”合理”的偏好都能用效用函数表示，特别是在满足传递性和单调性条件的情况下。 ### 效用函数的典型例子 效用函数是描述消费者偏好的数学工具。本节将介绍几种常见的效用函数类型及其特征。 #### 无差异曲线 定义[无差异曲线 indifference curve]: 给定效用函数 $u(x_1, x_2)$，无差异曲线是满足 $u(x_1, x_2) = k$ 的曲线，数学上称为水平集。 例如，对于效用函数 $u(x_1, x_2) = x_1 x_2$，其无差异曲线满足 $k = x_1 x_2$，即 $x_2 = \frac{k}{x_1}$。 图略 #### 完全替代品 定义[完全替代品 perfect substitutes]: 两种商品是完全替代品，如果效用函数具有形式 $u(x_1, x_2) = a x_1 + b x_2$，其中 $a, b$ 为正常数。 例如，红铅笔与蓝铅笔可能是完全替代品，其效用函数可以表示为： - $u(x_1, x_2) = x_1 + x_2$ - $v(x_1, x_2) = (x_1 + x_2)^2$ #### 完全互补品 定义[完全互补品 perfect complements]: 两种商品是完全互补品，如果效用函数具有形式 $u(x_1, x_2) = \min \{a x_1, b x_2\}$，其中 $a, b$ 为正常数。 例如： - 左鞋与右鞋：$u(x_1, x_2) = \min \{x_1, x_2\}$ - 茶与糖：$u(x_1, x_2) = \min \{x_1, \frac{1}{2} x_2\}$ 完全替代或完全互补的关系不一定是1:1的，比例可以根据具体情况而变化。 #### 拟线性偏好 定义[拟线性偏好 quasilinear preferences]: 如果效用函数具有形式 $u(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2$，其中 $v$ 是关于 $x_1$ 的函数，则偏好称为拟线性偏好。拟线性偏好的无差异曲线是垂直平移的。 例如：$u(x_1, x_2) = \sqrt{x_1} + x_2$ 和 $u(x_1, x_2) = \ln x_1 +

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