问题 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在 $(0.4,0.6)$ 间的概率至少为 0.9 . 如何才能更精确地计算这个次数？是多少？ ## 答案 首先，均匀硬币正面朝上的概率为 $p = 0.5$。设 $X_n$ 为抛硬币 $n$ 次中正面朝上的次数，则 $X_n$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，即 $X_n \sim B(n, p)$。 根据题意，需要找到最小的正整数 $n$，使得：

$$P\left(0.4 < \frac{X_n}{n} < 0.6\right) \geq 0.9$$

这等价于：

$$P\left(|\frac{X_n}{n} - 0.5| < 0.1\right) \geq 0.9$$

进一步化简：

$$P\left(|X_n - 0.5n| < 0.1n\right) \geq 0.9$$

因此，需要：

$$P\left(|X_n - 0.5n| \geq 0.1n\right) \leq 0.1$$

（一）利用切比雪夫不等式估计： 切比雪夫不等式告诉我们，对于任意随机变量 $X$，有： $$P\left(|X - \mathbb{E}(X)| \geq k\sigma\right)

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