问题 设总体 $X$ 服从几何分布, 即 $P(X=k)=p q^{k-1}, k=1,2, \cdots$, 其中 $0 为该总体的样本. 求 $x_{(n)}, x_{(1)}$ 的概率分布. ## 答案 1. 样本最小值 $x_{(1)}$ 的分布： 步骤1：求 $X$ 的累积分布函数(CDF)：

$$ P(X \geq k) = q^{k-1} $$

这是因为：

$$ P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1) = 1 - \sum_{i=1}^{k-1} p q^{i-1} = q^{k-1} $$

步骤2：计算所有样本值至少为 $k$ 的概率： $$ P(\min{x_i} \geq k) = [P(X \geq k)]^n

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