问题 证明公式

$$ \sum_{k=0}^r\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{r!(n-r-1)!} \int_p^1 x^r(1-x)^{n-r-1} \mathrm{~d} x, \quad \text{其中 } 0 \leqslant p \leqslant 1 $$

## 答案 证明： 我们要证明对于 $0 \leq p \leq 1$：

$$ \sum_{k=0}^r \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} = \frac{n!}{r!(n - r - 1)!} \int_p^1 x^r (1 - x)^{n - r - 1} \, dx. $$

方法： 我们将证明等式两边对 $p$ 的导数相等，并且在 $p = 1$ 时它们相等。通过证明这一点，我们可以得出结论，这两个表达式在区间 $[0, 1]$ 内对所有 $p$ 都相等。 步骤1：对左边（LHS）求导 令

$$ S(p) = \sum_{k=0}^r \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}. $$

我们计算 $S(p)$ 对 $p$ 的导数：

$$ \frac{d}{dp} S(p) = \sum_{k=0}^r \frac{d}{dp} \left[ \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \right]. $$

逐项计算导数：

$$ \frac{d}{dp} \left[ \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \right] = \binom{n}{k} \left[ k p^{k - 1} (1 - p)^{n - k} - (n - k) p^k (1 - p)^{n - k - 1} \right]. $$

使用组合恒等式简化： 恒等式1：

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.