问题 设总体 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 是连续的， $x_{(1)}, x_{(2)}, \cdots, x_{(n)}$ 为取自此总体的次序统计量，设 $\eta_i=F\left(x_{(i)}\right)$, 试证: 1. $\eta_1 \leqslant \eta_2 \leqslant \cdots \leqslant \eta_n$ ，且 $\eta_i$ 是来自均匀分布 $U(0,1)$ 总体的次序统计量； 2. $E\left(\eta_i\right)=\frac{i}{n+1}, \operatorname{Var}\left(\eta_i\right)=\frac{i(n+1-i)}{(n+1)^2(n+2)}, 1 \leqslant i \leqslant n$; 3. $\eta_i$ 和 $\eta_j$ 的协方差矩阵为

$$ \left(\begin{array}{ll} \frac{a_1\left(1-a_1\right)}{n+2} & \frac{a_1\left(1-a_2\right)}{n+2} \\ \frac{a_1\left(1-a_2\right)}{n+2} & \frac{a_2\left(1-a_2\right)}{n+2} \end{array}\right) $$

其中 $a_1=\frac{i}{n+1}, a_2=\frac{j}{n+1}$ ## 答案 (1) 证明 $\eta_1 \leq \eta_2 \leq \cdots \leq \eta_n$ 且 $\eta_i$ 是来自均匀分布 $U(0,1)$ 的顺序统计量 由于 $F(x)$ 是连续且严格递增的分布函数，它保持了观测值的顺序。也就是说，如果 $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}$ 是样本的顺序统计量，那么对每个值应用 $F$ 得到： $$ \eta_1 = F(x_{(1)}) \leq

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.