问题 设总体 $X$ 的密度函数为

$$ p(x)=\left\{\begin{array}{cl} 3 x^2, & 0 $x_{(1)} \leqslant x_{(2)} \leqslant \cdots \leqslant x_{(5)}$ 为容量为 5 的取自此总体的次序统计量, 试证 $\frac{x_{(2)}}{x_{(4)}}$ 与 $x_{(4)}$ 相互独立. ## 答案 为了证明 $\dfrac{x_{(2)}}{x_{(4)}}$ 和 $x_{(4)}$ 是独立的，我们从考虑第 $(2)$ 和第 $(4)$ 个顺序统计量 $x_{(2)}$ 和 $x_{(4)}$ 的联合分布开始，这些是从给定连续分布中抽取的样本大小为 $n=5$ 的样本，其密度函数为：

$$ p(x) = \begin{cases} 3x^2, & 0 < x < 1, \\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} $$

步骤1：计算基本分布的累积分布函数（CDF）和密度函数（PDF） 累积分布函数 $F(x)$ 通过积分 $p(x)$ 得到： $$ F(x) = \int_0^x 3t^2,dt = x^3,

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