问题 1. 设 $x_{(1)}$ 和 $x_{(n)}$ 分别为容量 $n$ 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差 $R_n=x_{(n)}-x_{(1)}$ 的分布函数

$$F_{R_n}(x)=n \int_{-\infty}^{\infty}[F(y+x)-F(y)]^{n-1} p(y) \mathrm{d} y,$$

其中 $F(y)$ 与 $p(y)$ 分别为总体的分布函数与密度函数; 2. 利用（1）的结论，求总体为指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda)$ 时，样本极差 $R_n$ 的分布。 ## 答案 1. 极差 $R_n = x_{(n)} - x_{(1)}$ 的分布函数 设 $x_{(1)}$ 和 $x_{(n)}$ 分别为样本的最小和最大次序统计量，来自于总体分布函数为 $F(y)$，密度函数为 $p(y)$ 的连续型分布。 首先，$x_{(1)}$ 和 $x_{(n)}$ 的联合密度函数为：

$$f_{x_{(1)}, x_{(n)}}(x_{(1)}, x_{(n)}) = \frac{n!}{(n - 2)!} p(x_{(1)}) p(x_{(n)}) [F(x_{(n)}) - F(x_{(1)})]^{n - 2}, \quad x_{(1)} \leq x_{(n)}$$

这是因为： - 从 $n$ 个样本中选出最小值和最大值的位置有 $\frac{n!}{(n

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