问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自 $U(0, \theta)$ 的样本, $x_{(1)} \leqslant x_{(2)} \leqslant \cdots \leqslant x_{(n)}$ 为次序统计量, 令

$$ y_i=\frac{x_{(i)}}{x_{(i+1)}}, i=1,2, \cdots, n-1, \quad y_n=x_{(n)} $$

证明 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 相互独立. ## 答案 为了证明随机变量 $y_1, y_2, \dots, y_n$ 是相互独立的，我们将利用顺序统计量的联合分布并进行适当的变换。 步骤1：顺序统计量的联合分布 设 $x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)}$ 是来自均匀分布 $U(0, \theta)$ 样本的顺序统计量。顺序统计量的联合概率密度函数（pdf）为：

$$ f_{x_{(1)}, \dots, x_{(n)}}(u_1, \dots, u_n) = \frac{n!}{\theta^n}, $$

$$ \text{对于 } 0 \leq u_1 \leq u_2 \leq \dots \leq u_n \leq \theta. $$

这个密度函数在由顺序 $u_1 \leq u_2 \leq \dots \leq u_n$ 定义的单纯形上是常数。 步骤2：定义变换 我们定义从顺序统计量 $x_{(i)}$ 到新变量 $y_i$ 的变换如下： $$ \begin{cases} y_i = \dfrac{x_{(i)}}{x_{(i+1)}}, & \text{对于 } i = 1, 2, \dots, n-1, \ y_n = x_{(n)}.

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