问题 记 $\bar{x}_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, s_n^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}_n\right)^2, n=1,2, \cdots$, 证明:

$$ \begin{aligned} & \bar{x}_{n+1}=\bar{x}_n+\frac{1}{n+1}\left(x_{n+1}-\bar{x}_n\right) \\ & s_{n+1}^2=\frac{n-1}{n} s_n^2+\frac{1}{n+1}\left(x_{n+1}-\bar{x}_n\right)^2 \end{aligned} $$

## 答案 为了证明给定的公式，让我们首先回顾样本均值 $\bar{x}_n$ 和样本方差 $s_n^2$ 对于大小为 $n$ 的样本的定义： 1. 样本均值：

$$ \bar{x}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i $$

2. 样本方差：

$$ s_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}_n)^2 $$

我们将证明以下两个公式： 1. 更新样本均值：

$$ \bar{x}_{n+1} = \bar{x}_n + \frac{1}{n+1}(x_{n+1} - \bar{x}_n) $$

2. 更新样本方差：

$$ s_{n+1}^2 = \frac{n-1}{n} s_n^2 + \frac{1}{n+1}(x_{n+1} - \bar{x}_n)^2 $$

样本均值更新公式的证明 1. 用 $\bar{x}_n$ 和 $x_{n+1}$ 表示 $\bar{x}_{n+1}$。 根据定义：

$$ \bar{x}_{n+1} = \frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^{n+1} x_i = \frac{1}{n+1} \left( \sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1} \right) $$

2. 认识到 $\sum_{i=1}^n x_i = n \bar{x}_n$。 所以：

$$ \bar{x}_{n+1} = \frac{1}{n+1} \left( n \bar{x}_n + x_{n+1} \right) $$

3. 简化表达式。 分解表达式：

$$ \bar{x}_{n+1} = \left( \frac{n}{n+1} \bar{x}_n \right) + \left( \frac{1}{n+1} x_{n+1} \right) $$

4. 合并项以找到差异 $\bar{x}_{n+1} - \bar{x}_n$。 计算差异： $$ \begin{aligned} \bar{x}_{n+1} - \bar{x}_n & =

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