问题 从同一总体中抽取两个容量分别为 $n, m$ 的样本, 样本均值分别为 $\bar{x}_1, \bar{x}_2$, 样本方差分别为 $s_1^2$, $s_2^2$, 将两组样本合并，其均值、方差分别为 $\bar{x}, s^2$ ，证明：

$$ \begin{aligned} \bar{x} & =\frac{n \bar{x}_1+m \bar{x}_2}{n+m} \\ s^2 & =\frac{(n-1) s_1^2+(m-1) s_2^2}{n+m-1}+\frac{n m\left(\bar{x}_1-\bar{x}_2\right)^2}{(n+m)(n+m+1)} \end{aligned} $$

## 答案 这是一个从同一总体中取两个样本并推导合并均值和方差的问题。这是统计学中的一个基本概念，特别是在处理数据聚合和方差分析时。 第1部分：推导合并均值 ($\bar{x}$) 合并均值本质上是两个样本均值的加权平均。以下是我们如何推导它： 1. 表示合并数据： 让合并数据集包含两个样本的所有观测值：

$$x_{11}, x_{12}, \dots, x_{1n}, x_{21}, x_{22}, \dots, x_{2m}$$

2. 计算总和： - 样本1中所有观测值的和：$$\sum_{i=1}^n x_{1i} =

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