问题 设总体二阶矩存在， $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是样本，证明 $x_i-\bar{x}$ 与 $x_j-\bar{x} \quad(i \neq j)$ 的相关系数为 $-(n-1)^{-1}$. ## 答案 证明： 设总体随机变量的方差存在并为 $\sigma^2$，$x_1, x_2, \dots, x_n$ 是从该总体中抽取的相互独立的样本，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。样本均值定义为 $\bar{x} = \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k$。 我们的目标是证明对于任意 $i \neq j$，随机变量 $x_i - \bar{x}$ 与 $x_j - \bar{x}$ 之间的相关系数为 $-\dfrac{1}{n - 1}$，即：

$$\operatorname{Corr}(x_i - \bar{x},\ x_j - \bar{x}) = -\dfrac{1}{n - 1}$$

步骤1：计算 $\operatorname{Cov}(x_i - \bar{x},\ x_j - \bar{x})$ 首先，我们展开协方差的表达式： $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(x_i - \bar{x},\ x_j - \bar{x}) & = \operatorname{Cov}(x_i,\

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