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茆诗松统计学核心速通讲义 - 5.4三大抽样分布 - 问题11

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问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自 $N\left(\mu_1, \sigma^2\right)$ 的样本, $y_1, y_2, \cdots, y_m$ 是来自 $N\left(\mu_2, \sigma^2\right)$ 的样本, $c, d$ 是任意两个不为 0 的常数, 证明:
$$ t=\frac{c\left(\bar{x}-\mu_1\right)+d\left(\bar{y}-\mu_2\right)}{s_w \sqrt{\frac{c^2}{n}+\frac{d^2}{m}}} \sim t(n+m-2) $$
其中 $s_w^2=\frac{(n-1) s_x^2+(m-1) s_y^2}{n+m-2}$. ## 答案 为了证明
$$ t = \frac{c\left( \bar{x} - \mu_1 \right) + d\left( \bar{y} - \mu_2 \right)}{s_w \sqrt{ \dfrac{c^2}{n} + \dfrac{d^2}{m} }} \sim t(n + m - 2), $$
我们按如下步骤进行。 首先,由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是独立同分布的 $N(\mu_1, \sigma^2)$ 随机变量,样本均值 $\bar{X}$ 服从
$$ \bar{X} \sim N\left( \mu_1, \frac{\sigma^2}{n} \right), $$
这意味着
$$ \bar{X} - \mu_1 \sim N\left( 0, \frac{\sigma^2}{n} \right). $$
类似地,对于来自 $N(\mu_2, \sigma^2)$ 的独立样本 $Y_1, Y_2, \ldots, Y_m$,我们有 $$ \bar{Y} - \mu_2 \sim N\left( 0, \frac{\sigma^2}{m} \right).

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