问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n, x_{n+1}$ 是来自 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, $\bar{x}_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, s_n^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}_n\right)^2$, 试求常数 $c$ 使得 $t_c=c \frac{x_{n+1}-\bar{x}_n}{s_n}$ 服从 $t$ 分布，并指出分布的自由度。 ## 答案 首先，已知 $x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1}$ 来自正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的独立同分布样本。 计算样本均值 $\bar{x}_n$ 和样本方差 $s_n^2$： $$ \bar{x}n = \frac{1}{n} \sum{i=1}^n x_i, \quad s_n^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i -

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