问题 证明: 若随机变量 $t \sim t(k)$, 则对 $r 有

$$ E\left(t^r\right)= \begin{cases}0, & r \text { 为奇数, } \\ \frac{k^{\frac{r}{2}} \Gamma\left(\frac{r+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{k-r}{2}\right)}{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}, & r \text { 为偶数. }\end{cases} $$

并由此写出 $E(t)$ 与 $\operatorname{Var}(t)$. ## 答案 证明： 设随机变量 $t$ 服从 $t$ 分布，即 $t \sim t(k)$。根据 $t$ 分布的定义，$t$ 可以表示为

$$ t = \dfrac{u}{\sqrt{v / k}} = k^{1/2} u \cdot v^{-1/2}, $$

其中，$u \sim N(0,1)$，$v \sim \chi^{2}(k) = \operatorname{Gamma}\left(\dfrac{k}{2}, 2\right)$，且 $u$ 与 $v$ 独立。 要求计算 $E\left(t^{r}\right)$，其中 $r < k$。由于 $u$ 与 $v$ 独立，故

$$ E\left(t^{r}\right) = k^{r/2} E\left(u^{r} v^{-r/2}\right) = k^{r/2} E\left(u^{r}\right) E\left(v^{-r/2}\right). $$

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