问题 证明: 若随机变量 $F \sim F(k, m)$, 则当 $-\frac{k}{2} 时有

$$ E\left(F^r\right)=\frac{m^r \Gamma\left(\frac{k}{2}+r\right) \Gamma\left(\frac{m}{2}-r\right)}{k^r \Gamma\left(\frac{k}{2}\right) \Gamma\left(\frac{m}{2}\right)} $$

由此写出 $E(F)$ 与 $\operatorname{Var}(F)$ 。 ## 答案 由于 $F \sim F(k, m)$，它可以表示为两个独立的卡方随机变量除以其自由度的比值。具体来说，如果 $V \sim \chi^2(k)$ 且 $W \sim \chi^2(m)$，且 $V$ 和 $W$ 相互独立，则 $$

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