问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数 $F(x)$ 是连续严增函数,证明: 统计量 $T=-2 \sum_{i=1}^n \ln F\left(x_i\right)$ 服从 $\chi^2(2n)$. ## 答案 我们要证明统计量

$$ T = -2 \sum_{i=1}^{n} \ln F(x_i) $$

服从自由度为 $2n$ 的 $\chi^2$ 分布，即 $T \sim \chi^2(2n)$。 （1）将样本变量转换为标准均匀分布： 由于总体的分布函数 $F(x)$ 是连续严格递增的，所以其反函数 $F^{-1}$ 存在。设随机变量 $Y = F(X)$，其中 $X \sim F(x)$。 我们来证明 $Y \sim U(0,1)$。 计算 $Y$ 的分布函数： $$ \begin{aligned} F_Y(y) &= P(Y \leq y) = P(F(X) \leq y) \ &= P(X

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