问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个样本. $s_n^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2$ 是样本方差,试求满足 $P\left(\frac{s_n^2}{\sigma^2} \leqslant 1.5\right) \geqslant 0.95$ 的最小 $n$ 值. ## 答案 由于样本来自正态总体 $N(\mu, \sigma^2)$，根据统计理论，变量

$$ \frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), $$

其中 $\chi^2(n-1)$ 表示自由度为 $n-1$ 的卡方分布。 因此， $$ P\left( \frac{s_n^2}{\sigma^2} \leqslant 1.5 \right) = P\left( \frac{(n-1)s_n^2}{\sigma^2} \leqslant 1.5(n-1) \right) = P\left( \chi^2(n-1) \leqslant 1.5(n-1) \right).

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