问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自 $N(\mu, 1)$ 的样本, 试确定最大的常数 $c$, 使得对任意的 $\mu \geqslant 0$,有 $P(|\bar{x}|. ## 答案 由于样本均值 $\bar{x}$ 服从正态分布：

$$ \bar{x} \sim N\left(\mu, \frac{1}{n}\right). $$

我们需要确定最小常数 $c$，使得对于任意 $\mu \geq 0$，有

$$ P\left( |\bar{x}| < c \right) \leq \alpha. $$

让我们定义函数：

$$ g(\mu) = P\left( |\bar{x}| < c \right) = P\left( -c < \bar{x} < c \right). $$

由于 $\bar{x}$ 服从正态分布，我们有：

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