问题 设随机变量 $X \sim F(n, m)$, 证明: $Z=\frac{n}{m} X /\left(1+\frac{n}{m} X\right)$ 服从贝塔分布, 并指出其参数. ## 答案 假设 $X \sim F(n, m)$，其中 $F(n, m)$ 表示自由度为 $n$ 和 $m$ 的F分布。 回顾X的概率密度函数（pdf）为：

$$ p_X(x) = \frac{\Gamma\left( \dfrac{n + m}{2} \right)}{\Gamma\left( \dfrac{n}{2} \right) \Gamma\left( \dfrac{m}{2} \right)} \left( \frac{n}{m} \right)^{\dfrac{n}{2}} x^{\dfrac{n}{2} - 1} \left(1 + \frac{n}{m} x \right)^{ - \dfrac{n + m}{2}}, \quad x > 0. $$

考虑变换： $$ Z = \frac{ \dfrac{n}{m} X }{ 1 + \dfrac{n}{m} X }

… Content truncated. Please enter passkey to view full content.