问题 设 $x_1, x_2$ 是来自 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的样本, 试求 $Y=\left(\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right)^2$ 的分布. ## 答案 给定 $x_1$ 和 $x_2$ 是独立同分布的正态分布 $N(0, \sigma^2)$，考虑随机变量：

$$ S = x_1 + x_2, \quad D = x_1 - x_2. $$

首先，注意到 $S$ 和 $D$ 都是正态分布：

$$ S \sim N\left(0, \operatorname{Var}(S)\right), \quad D \sim N\left(0, \operatorname{Var}(D)\right), $$

其中 $$ \operatorname{Var}(S) = \operatorname{Var}(x_1 + x_2) = \operatorname{Var}(x_1) + \operatorname{Var}(x_2) + 2,\operatorname{Cov}(x_1, x_2)

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