问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本. 1. 在 $\mu$ 已知时给出 $\sigma^2$ 的一个充分统计量; 2. 在 $\sigma^2$ 已知时给出 $\mu$ 的一个充分统计量. ## 答案 (1) 当 $\mu$ 已知时，样本的联合概率密度函数为： $$ \begin{aligned} p(x_1, x_2, \dotsc, x_n; \sigma^2) &= \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^{2}}} \exp\left{ -\frac{1}{2\sigma^{2}}(x_i - \mu)^2 \right} \ &= (2\pi \sigma^{2})^{-n/2} \exp\left{ -\frac{1}{2\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}(x_i

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