问题 设二维随机变量 $\boldsymbol{X}=\binom{X_1}{X_2}$ 服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

$$ \left(\begin{array}{ll} \sigma^2+r^2 & \sigma^2-r^2 \\ \sigma^2-r^2 & \sigma^2+r^2 \end{array}\right), \sigma>0, r>0 $$

证明: 二维统计量 $T=\left(\left(x_1+x_2\right)^2,\left(x_1-x_2\right)^2\right)$ 是该二元正态分布族的充分统计量. ## 答案 要证明统计量

$$ T = \left( \sum_{i=1}^{n} (x_{1i} + x_{2i})^2,\; \sum_{i=1}^{n} (x_{1i} - x_{2i})^2 \right) $$

是该二元正态分布族的充分统计量。 首先，给出随机向量 $\boldsymbol{X} = \begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \end{pmatrix}$ 的概率密度函数。由于 $\boldsymbol{X}$ 服从均值为零向量、协方差矩阵为

$$ \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^2 + r^2 & \sigma^2 - r^2 \\ \sigma^2 - r^2 & \sigma^2 + r^2 \end{pmatrix} $$

的二元正态分布，其中 $\sigma > 0$，$r > 0$。 协方差矩阵的行列式为：

$$ |\Sigma| = (\sigma^2 + r^2)^2 - (\sigma^2 - r^2)^2 = 4\sigma^2 r^2. $$

协方差矩阵的逆为： $$ \Sigma^{-1} = \frac{1}{|\Sigma|} \begin{pmatrix} \sigma^2 + r^2 & -(\sigma^2 - r^2) \ -(\sigma^2 - r^2) & \sigma^2 + r^2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4\sigma^2 r^2} \begin{pmatrix}

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