问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自几何分布

$$ P(X=x)=\theta(1-\theta)^x, \quad x=0,1,2, \cdots $$

的样本, 证明 $T=\sum_{i=1}^n x_i$ 是充分统计量. ## 答案 证明： 设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自几何分布的独立同分布样本，其概率质量函数为：

$$ P(X_i = x_i) = \theta (1 - \theta)^{x_i}, \quad x_i = 0, 1, 2, \dots $$

定义统计量：

$$ T = \sum_{i=1}^n X_i $$

首先，样本的联合分布为： $$ P(X_1 = x_1, \dots, X_n = x_n) =

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