问题 设随机变量 $Y_i \sim N\left(\beta_0+\beta_1 x_i, \sigma^2\right), i=1,2, \cdots, n$, 诸 $Y_i$ 独立, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是已知常数, 证明 $\left(\sum_{i=1}^n Y_i, \sum_{i=1}^n x_i Y_i, \sum_{i=1}^n Y_i^2\right)$ 是充分统计量. ## 答案 要证明统计量 $\left( \sum_{i=1}^n Y_i, \sum_{i=1}^n x_i Y_i, \sum_{i=1}^n Y_i^2 \right)$ 是对参数 $(\beta_0, \beta_1, \sigma^2)$ 的充分统计量，我们可以利用因子分解定理。 首先，写出 $Y_1, Y_2, \dotsc, Y_n$ 的联合概率密度函数： $$ \begin{aligned} p(y_1, y_2, \dotsc, y_n) &= \prod_{i=1}^n \left{ \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2 \right) \right} \ &= (2\pi \sigma^2)^{-n/2} \exp\left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_i)^2

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