问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自泊松分布 $P(\lambda)$ 的一个样本, 证明 $T=\sum_{i=1}^n x_i$ 是充分统计量. ## 答案 为了证明 $T = \sum_{i=1}^n X_i$ 是 $\lambda$ 的充分统计量，我们将证明在给定 $T = t$ 时，样本 $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dotsc, X_n)$ 的条件分布不依赖于 $\lambda$。 由于 $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ 是独立同分布的泊松随机变量，参数为 $\lambda$，因此它们的和 $T = \sum_{i=1}^n X_i$ 服从参数为 $n\lambda$ 的泊松分布：

$$ T \sim \operatorname{Poisson}(n\lambda). $$

对于满足 $\sum_{i=1}^n x_i =

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