问题 设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自正态分布 $N(\mu, 1)$ 的样本, 证明 $T=\sum_{i=1}^n x_i$ 是充分统计量. ## 答案 要证明 $T = \sum_{i=1}^n x_i$ 是关于 $\mu$ 的充分统计量，可以利用因子分解定理，或者证明在给定 $T = t$ 的条件下，样本 $x_1, \dots, x_n$ 的条件分布不依赖于 $\mu$。 由于 $x_1, \dots, x_n$ 是来自正态分布 $N(\mu, 1)$ 的独立同分布样本，其联合概率密度函数为：

$$ p_\mu(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ -\frac{1}{2} (x_i - \mu)^2 \right\} = (2\pi)^{-n/2} \exp\left\{ -\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \right\}. $$

由于 $T = \sum_{i=1}^n x_i \sim N(n\mu, n)$，其概率密度函数为： $$ p_\mu(T =

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