问题 设 $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 是来自 $N(\theta, 1)$ 的样本, 证明 $g(\theta)=|\theta|$ 没有无偏估计 (提示: 利用 $g(\theta)$ 在 $\theta=0$ 处不可导). ## 答案 要证明基于来自 $N(\theta, 1)$ 的样本 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 时，$g(\theta) = |\theta|$ 没有无偏估计量，我们采用反证法。 反证法： 假设存在 $g(\theta)$ 的一个无偏估计量 $T(x_1, x_2, \dots, x_n)$，即对所有 $\theta \in \mathbb{R}$，有

$$ E_\theta[T(x_1, x_2, \dots, x_n)] = |\theta| $$

用样本的联合概率密度函数表示期望，我们有： $$

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