问题 设 $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ 是取自某总体容量为 3 的样本, 试证下列统计量都是该总体均值 $\mu$ 的无偏估计,在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差。 1. $\hat{\mu}_{1}=\frac{1}{2} x_{1}+\frac{1}{3} x_{2}+\frac{1}{6} x_{3}$ 2. $\hat{\mu}_{2}=\frac{1}{3} x_{1}+\frac{1}{3} x_{2}+\frac{1}{3} x_{3}$ 3. $\hat{\mu}_{3}=\frac{1}{6} x_{1}+\frac{1}{6} x_{2}+\frac{2}{3} x_{3}$ ## 答案 首先，计算三个统计量的数学期望： $\begin{align*} E(\hat{\mu}_{1}) &= \frac{1}{2} E(x_{1}) + \frac{1}{3} E(x_{2}) + \frac{1}{6} E(x_{3}) \\ &= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}) \mu \\ &= \mu. \end{align*}$ 同理， $\begin{align*} E(\hat{\mu}{2}) &= \frac{1}{3} E(x{1}) + \frac{1}{3} E(x_{2}) + \frac{1}{3} E(x_{3})

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