问题 设 $(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ 是来自 $\operatorname{Exp}(\lambda)$ 的样本, 已知 $\bar{x}$ 为 $1/\lambda$ 的无偏估计, 试说明 $1/\bar{x}$ 是否为 $\lambda$ 的无偏估计。 ## 答案 因为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是来自参数为 $\lambda$ 的指数分布 $\operatorname{Exp}(\lambda)$ 的独立同分布样本，所以它们的和

$$ Y = \sum_{i=1}^n x_i $$

服从参数为 $(n, \lambda)$ 的 Gamma 分布，即

$$ Y \sim \operatorname{Gamma}(n, \lambda) $$

其概率密度函数为

$$ f_Y(y) = \frac{\lambda^n}{\Gamma(n)} y^{n-1} e^{-\lambda y}, \quad y > 0 $$

其中 $\Gamma(n)$ 是 Gamma 函数，且当 $n$ 为正整数时，$\Gamma(n) = (n-1)!$。

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