问题 设总体 $(X \sim N(\mu, \sigma^{2}))$, $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是来自该总体的一个样本. 试确定常数 $c$ 使 $c \sum_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_{i})^{2}$为 $\sigma^{2}$ 的无偏估计。 ## 答案 由于总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，样本观测值 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是独立同分布随机变量，且对每个 $i$： $$ \begin{aligned} E(x_i) &= \mu, \ \operatorname{Var}(x_i) &= \sigma^2, \ E(x_i^2) &= \operatorname{Var}(x_i) + [E(x_i)]^2 = \sigma^2

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